シュヴァルツ不等式、三角不等式(複素数)の証明

質問

x,yは成分が複素数の列ベクトル

(1)
任意のn項列ベクトルについて
|(x|y)|=||x||・||y||⇒xとyが線型従属、つまりxとyの成分が比例する
の証明がわかりません

(2)
(x|y)+(y|x)≦2|(x|y)|となる理由がわかりません

任意のn項列ベクトルについて
||x+y||=||x||+||y||⇒xとyが線型従属、つまりxとyの成分が比例する
の証明がわかりません

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

まあ、証明を見れば、『ここでの』「xとyが比例する」の意味は分かるので、それでいいんではないでしょうか。
要は、(1)では、等号成立はxとyが一次従属の時、(2)ではさらにax+by=0なるa,bがあって、aとbのどちらかは0でなく、さらにa, bは同符号ではない時、となります。

お礼

kが実数でも、aとbは虚数になりうるので異符号、同符号の概念がない気がします。

回答No.1

tmppassenger

(1)
（今y≠0として）つまり、a=(y|y), b=-(x|y)としたとき、|x|^2 |y|^2 - |(x|y)|^2 = (1/(|y|^2)) * |ax+by|^2 なのだから、|x||y| - |(x|y)| = 0 ⇔ |x|^2 |y|^2 - |(x|y)|^2 = 0 ⇔ ax+by = 0 （但し、a=(y|y), b=-(x|y)）⇔ x = (-b/a) y （a≠0に注意）→x=kyなるスカラーkがある。一方、x=kyなるスカラーkがあるときは、b=-k(y|y)となるから、確かにx=(-b/a)yとなるから、上の⇔を逆にたどれば|x||y| - |(x|y)| = 0 となる。

(2)
(x|y) = c+di (iは虚数単位）としたとき、(y|x) = c-diだから (x|y)+(y|x) = 2c。一方、|(x|y)| = (c^2+d^2) ^ (1/2) ≧c。
(2)の式変形の過程を見ると、||x+y||=||x||+||y|| であるためには、(2)で≦となっている2箇所が両方共 = になるのが必要十分なので、||x+y||=||x||+||y|| ⇔ (x|y) + (y|x) = 2|(x|y)| かつ、|(x|y)| = |x||y|であることが分かる。この内、|(x|y)| = |x||y|であるのは、(1)でやった通り、（今y≠0として）x=kyと書ける時。さらに (x|y) + (y|x) = 2|(x|y)| となるのは、k+k* = 2|k|となるとき(k*はkの複素共役）だから、kが非負実数の時に限る。

お礼

比例の定義は「変数x,yが0でない定数kでx=kyの関係を満たすこと」らしいのですが、(1)でx=0の時も|x||y|=|(x|y)|を満たし、y≠0の時、k=0でないと成り立たないのですが、これは比例にならないですよね

x,yの成分が比例する⇒xとyが線型従属
ですが、写真の「xとyが線型従属、すなわちx,yの成分が比例するとき」ではなく「xとyが線型従属のとき」とするのがいいと思うのですが、どう思いますか？