重なっている二つの円の重複部分の面積の求め方

質問

重なっている二つの円の重複部分の面積を求め方を教えてください。

円A：r=10cm　円B：r=15cm
円A・円Bの円心を結んだ直線AB：10cmLの場合・・・(1)
円A・円Bの円心を結んだ直線AB：20cmLの場合・・・(2)
(1)(2)の二つの場合です。よろしくお願いします。

回答No.5

info22 · ベストアンサー

A#2の補足の回答
>扇形ABCの、< 中心角2arcsin0.75 >が腹に落ちません…。
∠BAC＝π-2arcsin0.75
に訂正します。
>調べるヒントだけでもいただけませんか？(○○の定理/定義とか…)
△ABCはAB=AC=10,BC=15,AからBCへ下ろした垂線の足をHとおけば
BH=CH=BC/2=15/2=7.3
x=∠ABH
cos(x)=BH/AB=7.5/10=0.75
x=arccos(0.75)
中心角は∠BAC=π-2x
で得られます。

中心角の訂正に伴い　A#2で
＞扇形ABC＝(半径10,中心角2arcsin0.75の扇形面積)
＞＝(1/2)*(10^2)*(2arcsin0.75)
　＝(1/2)*(10^2)*(π-2*arcsin0.75)
も訂正になります。（^^;）

＞白状すると、重複する二円の重複部分面積の自動計算式をExcelで作りたかったんです。
＞直線AB：8cmL(任意のL<A,B)の場合の重複部分面積というのは、与えられた条件だけで求められるのでしょうか？

一般化した場合：AB=L (0≦L≦25）とする場合
0≦L≦5
重複部分の面積=100π　…円Aが完全に円Bに含まれる場合
5≦L≦25
=2((100/2)(arccos(((L^2)-125)/(20L)))+(225/2)arccos((125+L^2)/(30L)
　-(1/4)√((625-L^2)((L^2)-25)))
となります。
(扇形の中心角は余弦定理、三角形はヘロンの公式を利用)

お礼

「一般化」と言うのですね。重ね重ね勉強になります。

> 一般化した場合：AB=L (0≦L≦25）とする場合
> 0≦L≦5
> 重複部分の面積=100π　…円Aが完全に円Bに含まれる場合
> 5≦L≦25
> =2((100/2)(arccos(((L^2)-125)/(20L)))+(225/2)arccos((125+L^2)/(30L)-(1/4)√((625-L^2)((L^2)-25)))

に関しては、まだ理解出来ていません。
でも、差し迫っての状況だけはお陰様でクリア出来ましたので、一旦回答を締め切りたいと思います。
上記引用部分を理解出来ないままで放っておくのは後味が悪いので、後々ゆっくりと消化していきたいと思います。
本当に助かりました。ありがとうございました。

補足

扇形ABCの中心角＜π-2arcsin(0.75)＞、理解出来ました！

回答No.4

info22

A#2で
(1)△ABCの面積を求める所
10が抜けていましたので訂正してください。（＾＾；）

>△ABC＝(3辺が10,10,15の三角形の面積)
>＝(1/2)*15*sin(arccos0.75)

＝(1/2)*15*10*sin(B)
＝75*sin(B)
ここで sin(B)=sin(arccos0.75)=(√7)/4
△ABC＝75(√7)/4

扇形の面積はですね。
(r^2)θ/2＝r*（円弧の長さ）/2

お礼

この部分も理解出来ました！

回答No.3

info22

＞三角形の面積の求め方がまだ分かりません…。追加で教えて頂けると幸いです。
三角形の面積はA#2では
(1/2)*（底辺)＊（高さ）で計算しています。
例えば三角形ABCで底辺aと∠Bと辺c（2辺侠角が既知）の場合
高さはc*sin(B)になりますので
S=(1/2)ac*sin(B)

なお、直角三角形△ABC(∠C=直角)の斜辺cと一辺aが分かっている場合
∠Bはcos(B)=a/cでB=arccos(a/c)で求めます。
a=15/2,C=10の場合はB=arccos(7.5/10)=arccos(0.75)
arccos(B)は「cos^(-1) B」とも書きます。

●今の場合３辺が分かっていますのでヘロンの公式でも計算できます。
a,b,cが既知の場合
s=(a+b+c)/2とおくと
S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/heron/heron.htm

お礼

三角形の面積計算、理解出来ました！
すごい、こんな計算方法があるんですね。三角関数を侮ってました。
ヘロンの公式は知ってますが、上記の方が応用が効きますね！

回答No.2

info22

できる範囲で解答を補足して下さい。
そして分からない所を補足で書いてください。

さらにヒントを追加します。
(1)２つの円の中心をA,B，交点の1つをC、円Bが直線ABと交わる点をDとする。
2つの円の重複部分の図形は線分ABに対して対象だから、線分ABのC側の図形部分を求めて2倍すればよい。
●面積S1＝2(扇形ABC+扇形BCD-△ABC)
扇形ABC＝(半径10,中心角2arcsin0.75の扇形面積)
＝(1/2)*(10^2)*(2arcsin0.75)

扇形BCD＝(半径15,中心角arccos0.75の扇形面積)
＝(1/2)*(15^2)*arccos0.75

△ABC＝(3辺が10,10,15の三角形の面積)
＝(1/2)*15*sin(arccos0.75)

ここで△ABCの∠Bを単にBと書くと余弦定理から
cosB={(15^2)+(10^2)-(10^2)}/(2*15*10)=15/20=3/4=0.75
B=arccos0.75と出てきます。
また扇形の面積は(1/2)*{(半径)^2}*(中心角)です。

(2)２つの円の中心をA,B，交点の1つをC、円A,円Bが線分ABと交わる点をそれぞれE,Dとする。

面積S2＝2*(扇形ACE+扇形BCD-△ABC)

扇形ACE＝(半径10,中心角arccosAの扇形面積)
　＝(1/2)*(10^2)arccos(11/16)

扇形BCD＝(半径15,中心角arccosBの扇形面積)
　＝(1/2)*(15^2)arccos(7/8)

△ABC＝(3辺が10,15,20の三角形の面積)
　＝(1/2)*20*10sinA＝100√{1-(cosA)^2}

角A,Bは余弦定理を使えば求められます。
cosA={(10^2)+(20^2)-(15^2)}/(2*10*20)=11/16
cosA={(15^2)+(20^2)-(10^2)}/(2*15*20)=7/8

後はやって補足で解を書いてください。
分からなければ分かるところまで解答を書いて補足質問して下さい。

お礼

(2)と、(1)の△ABC・扇形BCDまで理解できました。ありがとうございます。
でもまだ扇形ABCの、< 中心角2arcsin0.75 >が腹に落ちません…。
調べるヒントだけでもいただけませんか？(○○の定理/定義とか…)

白状すると、重複する二円の重複部分面積の自動計算式をExcelで作りたかったんです。
当初は正直よく分かっていなかったので、適当に例を二つ挙げたのですが、それだけじゃ足らないような気がしてきました。

例えば円A：r=10cm/円B：r=15cmにおいて、円A・円Bの円心を結んだ直線AB：8cmL(任意のL<A,B)の場合の重複部分面積というのは、与えられた条件だけで求められるのでしょうか？

補足

教えて頂いた< (1/2)*{(半径)^2}*(中心角) >は、
半径*弧の長さ*1/2のことですよね！

(1)(2)とも、面積計算の考え方と扇形の面積までは理解出来ました。
でも、三角形の面積の求め方がまだ分かりません…。追加で教えて頂けると幸いです。

回答No.1

info22

ヒントだけ
(1)図形解析による幾何学的方法
●2*{(半径10,中心角2arcsin0.75の扇形面積)
　　+(半径15,中心角arccos0.75の扇形面積)
-(3辺が10,10,15の三角形の面積)}

●別解は積分を使う方法があります。
(2)も同様にできますが扇形の中心角を求めるのに余弦定理を使います。

ご自分の解答を分かる範囲で書いて頂かないと削除対象になります。

お礼

↑はお礼欄に書くべきでした。失礼しました。

補足

> ご自分の解答を分かる範囲で書いて頂かないと削除対象になります。
ごめんなさい、書き方が悪かったです。
重なっている二つの円の重複部分の面積の『求め方』を知りたかったので、ヒントだけで結構です。ありがとうございます。