(sinX)^n の積分

質問

(sinX)^n の積分はどうしたらいいのですか？
教えてください．

回答No.3

sumou111

∫sin^n X dX

=∫[sinX・sin^(n-1)X ] dX

=∫[(-cosX)'・(sinX)^(n-1) ] dx

=-cosX・sin^(n-1)X-∫(-cosX)・(n-1)・sin^(n-2)X・cosX dX

=-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・∫sin^(n-2)X・cos^2 X dX

=-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・∫sin^(n-2)X・(1-sin^2 X) dX

=-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・[∫sin^(n-2)X dX-∫sin^(n-2)X・sin^2 X dX]

=-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・[∫sin^(n-2)X dX-∫sin^n X dX]

よって n∫sin^n X dX=-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・∫sin^(n-2)X dX　より　∫sin^n X dX=1/n・[-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・∫sin^(n-2)X dX　]　となります。

部分積分を使い漸化式の形にします。

回答No.2

stomachman

......。
J[0]=integral dx = x
J[1]=integral sin x dx = -cos x
です。
J[n] = -(1/n)((sin x)^(n-1))(cos x) + ((n-1)/n)J[n-2]
をxで微分してみれば、(sin x)^n になるのが確かめられます。

回答No.1

stomachman

J[n] = integral (sin x)^n dx
とおくと、
J[n] = -(1/n)((sin x)^(n-1))(cos x) + ((n-1)/n)J[n-2] (n≠0)
です。
n<0の場合はこの漸化式を逆向けに使います。
J[0],J[1]はわかりますよね。