(1+sinx)/sin2xの積分

質問

(1+sinx)/sin2xの不定積分の答えがわかりません。

できれば答えを途中式と一緒に教えていただきたいです。

回答No.1

mazinnkenn · ベストアンサー

∫(1+sinx)/sin2x dx
= ∫(1+sinx)/(2 sinx cosx) dx

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sinx →　t
cosx dx →　dt ⇒　dx →　(1/√(1-t^2)) dt (∵cos x = √(1-(sinx)^2) )
--------------------------------

= ∫(1+t)/(2 t √(1-t^2)) (1/√(1-t^2)) dt
=∫(1+t)/(2 t (1-t^2) ) dt
=∫(1+t)/(2 t (1-t)(1+t) ) dt
=∫1/(2 t (1-t) ) dt
=∫1/2{ 1/t + 1/(1-t) } dt ←　部分分数分解
=1/2∫1/t dt + 1/2∫1/(1-t) dt
=1/2*{ln(t) +C1} + 1/2*{-ln(1-t) + C2}
=1/2*ln(t/(1-t)) + C

回答No.2

info22_

∫(1+sinx)/sin(2x) dx
=∫{(1+sinx)/(2sinx*cosx)}dx
=(1/2)∫{(1+sinx)/(sinx*(cosx)^2)}cosx dx
=(1/2)∫{(1+sinx)/(sinx*(1-sinx)(1+sinx))}(sinx)' dx
=(1/2)∫{1/(sinx*(1-sinx))}(sinx)' dx
=(1/2)∫{(1/sinx)-(1/(sinx-1))}(sinx)' dx
=(1/2){log|sinx|-log|sinx-1|}+C
=(1/2)log|sinx/(1-sinx)|+C