数学IA 二次関数の問題

質問

こんにちは。解説を見てもよくわからないところがありまして、わかるかた教えていただけないでしょうか。

問：グラフが次の条件を満足する２次関数を求めよ

上に凸で、頂点が直線y＝x上にあり、　２点(1.1), (2.2) を通る。

解説：

y＝a(x-p)^2-p (a<0)とおく。
点(1.1)を通るから、 1＝a(1-p)^2+p　よって (1-p){a(1-p)-1}=0 …(1)
点(2.2)を通るから、 2＝a(2-p)^2+p よって (2-p){a(2-p)-1}＝0…(2)

(1)より p＝1 のとき(2)に代入して a＝１　　これは a<0を満たさないから不適
(2)より p=2のとき(1)に代入して　a＝-1 これはa<0を満たすから適する。

と、ここまでは理解できるのですが、

p=/1 かつ　p=/2 (＝に斜線がはいっている符号です)　のとき、

(1)より　a= 1 / 1-p' , (2)より　a= 1/2-p
このようなaは存在しない。
以上より、求める２次関数は　　y=-(x-2)^2 +2

確かに、(1)、(2)の式をすると (1)より　a= 1 / 1-p' , (2)より　a= 1/2-p　となるのは
わかるのですが、なぜ、"このような a は存在しない"　ということになるのでしょうか？

どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.3

DJ-Potato · ベストアンサー

#1です。

とりあえず、(1)と(2)の連立方程式を解くことが目標です。

(1)
(1-p){(1-p)a - 1} = 0
⇔　1 - p = 0　または　(1 - p)a - 1 = 0
⇔　p = 1　・・・(1A)　　または　a = 1/(1-p)　・・・(1B)
(1)
(2-p){(2-p)a - 1} = 0
⇔　2 - p = 0　または　(2 - p)a - 1 = 0
⇔　p = 2　・・・(2A)　　または　a = 1/(2-p)　・・・(2B)

数学において絶対的な権力を持っている「０除算の禁止」から
(1A)　かつ　(1B)
および
(2A)　かつ　(2B)
となる条件は無視します。

よって、この連立方程式を満たすためには、
(1A)　かつ　(2A)　　・・・(3A)
(1A)　かつ　(2B)　　・・・(3B)
(1B)　かつ　(2A)　　・・・(3C)
(1B)　かつ　(2B)　　・・・(3D)
を満たすもの、ということになります。

(3A)
　p = 1　かつ　p = 2
　意味不明ですね。即ポイです。
(3B)
　p = 1　かつ　a = 1/(2-p)
　∴a = 1
　定義 a < 0　より不適
(3C)
　a = 1/(1-p)　かつ　p = 2
　∴a = -1
　OK!!
(3D)
　a = 1/(1-p)　かつ　a = 1/(2-p)
　これを満たすaの値は存在しないので、×

したがって、題意に沿う解答は、(3C)のa = -1の時、ということになります。

どうでしょう？

お礼

こんばんは。

考え方が大変よくわかりました。
しかし、数学ができる方は素晴らしいですね。
高校の頃もっと真面目にやっておけばよかったと思うしだいです。

理解できると楽しいです。
先日に引き続きどうもありがとうございました。

回答No.2

noname#141439

そもそも
p≠1かつp≠2の時は
a=1/(1-p),a=1/(2-p)
となってしまいaの値が確定しませんので除外していいと思いますが・・

お礼

こんばんは。

そうですね。変なところにこだわってしまいました。
どうもありがとうございました。

回答No.1

DJ-Potato

途中からpにアポストロフィがついてますが、打ち損じでしょうか。これ自体に意義を見出せません。

(1)より　a= 1 / 1-p , (2)より　a= 1/2-p
を同時に満たすaの値、つまり
1/(1-p) = 1/(2-p)
2 - p = 1 - p
を満たすpの値は存在しない

ということですね。

お礼

ありがとうございました。

しかし、解説の上のほうで、p=1, P=2をそれぞれ
(1)より　a= 1 / 1-p , (2)より　a= 1/2-p
に代入していますよね？

それで　（1）にp=2を代入すると a=-1, （2）にp=1を代入すると、a=0
となり、問題の条件として a=-1 は a<0なので適するというように解説は進んでいます。

補足

失礼しました。アポストロフィーは(1)と(2)の解答の間を区切るいみでコンマが使われているのを僕がp'と勘違いしてました。