ベストアンサー 参考書を教えてください 2002/06/06 18:25 数列の極限値の定理の証明が載っている参考書を教えてください。 (大学レベルの…) ちなみに lim(An±Bn)=a±b です。 n→∞ みんなの回答 (2) 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー Mell-Lily ベストアンサー率27% (258/936) 2002/06/06 19:03 回答No.1 解析概論(高木貞治、岩波書店)は、解析学の分野で名著の誉れが高い書籍です。解析学の一通りの事項が、整然と展開されています。著者の高木貞治は、明治から昭和にかけて活躍した数学者で、類体論等の業績によって、世界的に認められています。他に、初等整数論講義(共立出版)、近世数学史談(岩波文庫)など多数の著書があります。 質問者 お礼 2002/06/06 20:32 ありがとうございます。 レポートが分からなくて悪戦苦闘しています。 近いうちに探しにいきます。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 その他の回答 (1) ADEMU ベストアンサー率31% (726/2280) 2002/06/07 09:08 回答No.2 安直ですが、以下のサイトが参考になるでしょうか。 参考URL: http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/node13.html 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 大学の微積の参考書 大学1回生です。微分積分の授業が始まったのですが、初っ端からこけてしまいそうです。 教科書は難波 誠著「微分積分学」(裳華房)を使っています。今は1-1辺りをやっているので、極限の基礎に当たるわけですが、証明がいまいちよく理解できません。生協でいろいろ参考書を見てみたのですが、わかりやすいけど浅い(極限の基礎については最低限しか扱っていないものが多い)、もしくはこの教科書レベルまで扱っているけど結局よくわからない、のどちらかしかありません。わかりやすい参考書で、なおかつ深い内容までカバーしているものはないでしょうか。 深い内容とは、たとえばボルツァノ-ワイヤシュトラースの定理といった名前を聞くだけでいやになってくるものとか、またlim(n→∞)(an/bn)=lim(n→∞)an/lim(n→∞)bnといった一見当たり前のことだけど証明しろ、といわれたら考えてしまうようなことです。 証明問題が得意な方おねがいします。 次の定理をεーn式定義に従って証明。 2つの数列{An}、{Bn}について、 lim An=a、 lim Bn=b n→∞ n→∞ ならば lim(An±Bn)=a±b (復号同順) 証明問題が得意な方おねがいします。 次の定理をεーn式定義に従って証明。 2つの数列{An}、{Bn}について、 lim An=a、 lim Bn=b n→∞ n→∞ ならば lim(An±Bn)=a±b (復号同順) なるべく簡単にお願いします。 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた? OKWAVE コラム lim[n→∞]an/bn=a/bの証明法を教えてください。(εーN) 極限の最初の所で行き詰って困っています。 lim[n→∞]an=a,lim[n→∞]bn=bの時 lim[n→∞]an/bn=a/bの証明についてです。 証明 (lim[n→∞]an・bn=abを証明済みという前提で)・・・※ ※より、lim(1/bn)=1/bを証明すれば十分。 |1/bnー1/b|=|bnーb|/(|bn||b|) b≠0だから∃N´;|bn|≧|b|/2 (n≧N´)・・・※※ また、∀ε>0,∃N;|bnーb|<ε (n≧N) よって |1/bnー1/b|=|bnーb|/(|bn||b|)<2ε/|b|^2 (n≧max(N,N´)) 分からないのは※※の部分 |bn|≧|b|/2の式で、この式がどこから出てきたのかが分かりません。 分かる方、よろしくお願いします。 数三の数列の極限値の性質について 数列の極限値の性質に 数列{An}{Bn}が収束して lim An=α lim Bn=β(ここに書くlimの下にはすべてn→∞があると考えてください) とするlim An/Bn=αβとあり、 この法則を使って lim √(n+2)-√n/√(n+1)-√n を解こうとしました で、lim √(n+2)-√n=0となったので lim √(n+2)-√n/√(n+1)-√n=0 としたのですが、答えは2です この考え方はどこがいけないのかわからないので わかる方教えてもらえませんか? 数列の極限の証明 「a1=a,b1=b,(a>b>0) a(n+1)=(an+bn)/2 b(n+1)=anbn^1/2 で定まる二つの数列{an},{bn}は同じ極限値を持つことを示せ。」 という問題を解いていて、このリンクの証明を見たのですが、 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1463528674 証明の最後で、a_n+1=ka_n を満たす1より小さい正の実数kが存在することから、 a_n=k^(n-1)*a1 として、n→∞でa_n→0としていましたが、 a_n=f(n)として、f(x)が単調減少関数でf(n+1)=k_n(fn) (k_nはnによって変化する1より小さいある正の定数)となっても、 k_nはnに依存するので、必ずしもx(またはn)→∞でf(x)(またはf(n))→0になるとは限らないのではないのでしょうか。(ex. k_n→1 (n→∞), f(x)=(1/x)+(1/2)) その可能性はないのでしょうか? 以下がリンク先の証明の全文です。 与えられた漸化式と0<a<bより帰納的に0<an,0<bnとなる。 すると相加・相乗平均の関係より a(n+1)/b(n+1)=(an+bn)/2√(anbn) =(1/2){√(an/bn)+√(bn/an)}≧(1/2)*2*√(an/bn)*√(bn/an) =1 ∴b(n+1)≦a(n+1)となる。 ここで等号が成り立つとすると bn=anより a(n+1)=(1/2)(an+bn)=(1/2)*2an=an となり an=a(n-1)=…=a1=a=b1=b となりa<bに矛盾する。 よって等号は成立しないので b(n+1)<a(n+1) となり、したがって bn<an…(*) となる。 すると an+bn<2anより a(n+1)=(1/2)(an+bn)<(1/2)*2an=an となる。 したがって0<anより a(n+1)=k*an を満たす1より小さい正の実数kが存在する。 すると an=k*a(n-1)=k^2*a(n-2)=…=k^(n-1)*a1=k^(n-1)*a となるから lim[n→∞]an=a*lim[n→∞]k^(n-1)=0…(**) となる。 すると(*)と0<bnより 0<bn<an だから(**)からはさみうちの原理により lim[n→∞]bn=0 となる。 よって lim[n→∞]an=lim[n→∞]bn=0 となる。 数列の極限問題 a,bを2つの正の定数とし、数列{an},{bn}を次のように帰納的に定義します。 a1 = a, b1 = b, an+1 = (an + bn)/2, bn+1 = √(an x bn) (n = 1,2,...) このとき、 (1) a >= bならば a1 >= a2 >=....>= an >=...>= bn >=.....>= b2 >= b1 が成り立つことを証明してください。 (2)数列{an},{bn}は同じ極限値に収束することを証明してください。 よろしくお願いします。 はさみうちの原理(証明) 数列An<Xn<BnまたはAn≦Xn≦Bnでlim(n→∞)An=lim(n→∞)Bn=lが存在すれば、lim(n→∞)Xnも存在してlに等しいことを証明せよ。という「はさみうちの原理」を証明する問題ですが、どうすれば証明できるでしょうか?よろしくお願いします。 誰か教えてください・・・。 木曜日までの宿題なんですけど誰か教えてください・・・。 注:以下のan+1,bn+1 などはn+1番目のa,bという意味です。わかりにくくてすいません。 0>a1>b1 , an+1=√(anbn) , bn+1=(an+bn)/2 (n=1,2,3,・・・) で与えられている数列{an},{bn}について、次を証明せよ。 (1) {an}は増加関数、{bn}は減少関数である。 (2) lim(n→∞)an=lim(n→∞)bn もう1問いいですか。 回転楕円形x^2+y^2+(z^2)/4=1の表面上で、f(x,y,z)=x+y+z を最大化するような座標を求めなさい。 むずかしいっすよね・・ 単純減少数列? 塾で出た問題で、先生に説明を受けてもわからないものがあったので教えてほしいことがあります。 aは4<a<12をみたす定数。数列{an}について ・a1=a ・an+1=3 + (an)2剰/16 (1) 4<an<12を示せ (2) an>an+1を示せ (3) lim an を求めよ n→∞ (1)は数学的帰納法で、(2)はそのまま代入で求められたのですが、問題は(3)です。模範解答は an+1-4=(an-4)(an+4)/16から(1)(2)を用いてはさみうちの定理に導き lim(an-4)=0から lim(an)=4 へと結論づけます。 n→∞ n→∞ けれどもよく考えてみるとn→∞のとき(1)(2)は証明されているのだから、 4<an+1<an<…<a2<a1<12がなりたち極限値は4となるのは自明ではないかと考えました。そのことを先生に質問したら。 「いっていることは最もだ。けどこれは単純減少数列(とかいっていたようなきがします)で大学ではあたりまえのこととしているんだけれども高校では使えない」といい、でも、といったら 「難しいけれども君の示した方法はその題意そのものであって…」などと教えられましたが、いまいちよくわかりません。 今自分は高校生ですが、高校において自分が示したような方法ははたしてつかえないのでしょうか?大学入試でもつかえないのでしょうか?わかりやすく誰か説明してもらえないでしょうか? limAnBn=AlimBn の証明 {An}(n≧1)は収束列で、limAn(n→∞)=A≧0とし,{Bn}(n≧1)は有界数列とする。そのとき、 lim(n→∞)AnBn=A×limBn(n→∞) となることを証明せよ。 という問題が分かりません。 Bnが limBn(n→∞)=B≧0 の収束列の時に lim(n→∞)AnBn=AB となるのは分かるのですが……。 ヒントや指針だけでもいいので、どなたか回答お願いします。 数列の問題 数列{an} を、a(1)=1 , a(n+1)=3an + 2・3^(n+1) (n=1,2,3.........) で定義する。 bn=an/3^n とおくと、数列{bn}は b(1)=[ア] , b(n+1) = [イ]bn + [ウ] (n = 1,2,3......) を満たすので、一般項は[エ]とあらわされる。したがって、数列{an} の一般項は[オ]と表される。 よってlim[n→∞] a(n+1)/an = [カ] 答え ア 1/3 イ 1 ウ 2 エ bn = 2n - 5/3 オ 不明 カ 3 オ と カ の途中式を教えてください。式がわかり辛くてごめんなさい。 日本史の転換点?:赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 数学の参考書をおしえてください 数列の極限値の定理の証明が載っている参考書を教えてください。 コーシー列について、質問です。 コーシー列について、質問です。 参考書やネットを参考に解答を作成しましたが、どなたか、修正および補足などをお願いします。 特に、(2)です。 問.{an}をQの中のコーシー列とする。bn=an+1/3n(n=1,2…)とおくとき、次の問いに答えよ。 (1)「 {bn} はQの中のコーシー列であることを証明せよ。」 (1) m>nとします。 a_nはコーシー列なので m,n→∞のとき |b_m-b_n| =|{a_m+1/(3m)}-{a_n+1/(3n)}| ≦|a_m-a_n|+(1/3)|(m-n)/mn| =|a_m-a_n|+(1/3)|{1-n/m}/n|→0 となるのでb_nはコーシー列です。 1/(3n)は有理数なので、a_nが有理数ならばb_nも、b_n=a_n+1/(3n)より有理数である。 よってb_nもQの中のコーシー列である。 (2) 「{an} ~ {bn} (同値)を証明せよ。」 ※コーシー列{an}n=1~∞を単に {an} と表記 {an}n=1~∞ ~ {bn}n=1~∞ を示すには、lim{n→∞}(an-bn)=0を示せばいい。 ∀ε>0に対して、n≧1/3([1/ε]+1) ならば、 |(an-bn)-0|=|an-bn|=|an+1/{3n}-an|=|1/{3n}|=1/3*1/n≦1/3*3([1/ε]+1)<1/{1/ε}=εだから、 lim{n→∞}(an-bn)=0となります。 よって、 {an} ~ {bn} (同値)が証明された。 極限の問題です! [An(nは自然数)をAn>0である数列であるとして、lim(n→∞)A(n+1)/An=Lのとき、(1)L<1ならAnは収束しlim(n→∞)An=0,(2)L>1ならlim(n→∞)An=∞]であることを使って、 ( )n/2^n ( )n/b^n (bは0でない) の極限を求めたいのですがわかりません(泣)アドバイスお願いします。 微分 |a|<1のとき、lim n→∞ n(a^n)=0を示す問題なのですがどのように解くかわかりません。 はさみうちの定理を使うそうですが an≦bn≦cnnotoki lim (n→∞) an=A lim (n→∞) cn=A ならば lim (n→∞) bn=A がいえる公式がありますがどのように考えるのかわかりません。 お願いします 等差数列 等差数列{an}があり、a1+a2+a3=30、a5=22である。また、数列{bn}があり、b1=3、bn+1=2bn-1(n=1、2、3、…)を満たしている。 (1)bnをnを用いて表わせ。 (2)2つの数列{an}または{bn}に含まれる数を小さい順に並べてできる数列を{cn}とする。50 ∑Cnを求め n=1 よ。 難しくて、解けません。お願いします。 数列 各項が正の数である数列【an】がa1=1,{〔(an+1)^2〕/an}=1/eを満たす時lim(n→∞)an=の求めかたを教えてください。 eは自然数の底で答えはe^(-1)です 2log(an+1)=log(an)-1 2log(an+1)+2=log(an)+1 2(log(an+1)+1)=log(an)+1 log(an)+1=bnとおく. 2bn+1=bn b(n+1)=(1/2)bn b(1)=1より bn=(1/2)^(n-1) logan+1=(1/2)^(n-1) loe an=[{(1/2)^(n-1)}-1] から分からないです。 収束する数列に関する定理の証明についての質問。 教科書に載っている証明なのですが・・・ lim An=α、lim Bn=β とするとき、 n→∞ n→∞ An≦Bn (n=1,2,…)であればα≦βである。 【証明】 もしα>βであるとし、c=α-β( >0)とする。 lim An=α、lim Bn=β より、 n→∞ n→∞ nが十分大ならば、|An-α|< c/2、|Bn-β|< c/2であり、 したがってAn-Bn >0となり仮定に反する。 それで疑問に思ったのが、なんで突然c/2が出てきたのかと。 このc/2はなに者? |An-α|< c/2、|Bn-β|< c/2 により なぜAn-Bn >0が言えるのかわからないのです。 助けてください>< 数列の問題です^^;手も足も…でないです。 普通の数列より難しく感じます…。数列での証明などと^^; 自分の頭では手も足もでません…。 教えていただけたらありがたいです!お願いします。 ≪※これ以下に表す『a1』は数列{an}の初項で『a2』は同様に数列{an}の第二項とします。≫ [問題1] (1)x>0のとき,2/3(x+1/x^2)≧2^(1/3)が成り立つことを示せ。 【自分の考え】 相加相乗を使うのかと考えてみたのですが^^; できません^^; (2)数列{an}をa1=2,a(n+1)=2/3(an+1/(an)^2)で定める。 )n≧1において,an>a(n+1)>2^(1/3)を示せ。 【自分の考え】 (1)を使って解くと思うのですが…^^; )n≧2のとき,a(n+1)-2/(an)^2<2/3(an-2/(a(n-1)^2)を示せ。 【自分の考え】 これも全くって感じです^^; )n≧1のとき,0<a(n+1)-2/(an)^2≦(2/3)^(n-1)を示せ。 【自分の考え】 これも…すみません^^; [問題2] a1=2,b1=1,a(n+1)=1-1/(an)^2,b(n+1)=1-(bn)^2/(an)^2で定める。b2,b99を定めよ。 【自分の考え】 考え方もわかりません。普通の数列のレベルでないので…。 どこでもいいので、教えていただけたらうれしいです^^ よろしくお願いします。 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば? Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市(長野県)在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学(農工医) 学校 受験・進学 留学 その他(学問・教育) カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル?プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す!格安SIMと端末選びのポイントは? 友達って必要?友情って何だろう 大震災時の現実とは?私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ!負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる! OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
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