素数の逆数和

質問

素数の逆数和は発散することについて

形式的に
Π[p:全素数]1/(1-1/p)
=1+1/2+1/3+1/4+・・・=∞
より両辺対数をとって
Σ[p:全素数]1/p=log∞

という記述を見たのですが、対数をとったとき左辺がこのように変形できるのはなぜでしょうか？

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

x が 0 に近ければ log(1+x) ～ x なので
p が大きければ log{1/(1-1/p)} = -log(1-1/p) ～ 1/p としているのでしょう。

もちろん、証明しようとすれば厳密な議論が必要ですが。

お礼

なるほど！近似式だったのですね。
ようやく謎が解けました。ありがとうございました。