ベストアンサー 平方数の逆数の和 2005/12/04 23:11 平方数の逆数の和の公式ってありましたっけ？ みんなの回答 （2） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー siegmund ベストアンサー率64% (701/1090) 2005/12/04 23:31 回答No.2 Σ{k=1 → ∞} (1/k^2) ということでしたら， この和は π^2/6 です． zeta 関数の ζ(2) でもあります． Σ{k=1 → n} (1/k^2) でしたら，初等的には表現できません． 高等関数を用いるのでしたら，trigamma 関数で表すことができます． 例えば， http://mathworld.wolfram.com/PolygammaFunction.html http://mathworld.wolfram.com/TrigammaFunction.html をご覧下さい． 質問者 お礼 2005/12/05 13:48 ｎが有限の場合は、初等的には無理なのですね。ありがとうございました。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 その他の回答 (1) yumisamisiidesu ベストアンサー率25% (59/236) 2005/12/04 23:29 回答No.1 たしかΣ(n^(-2))=π^2/6だったと思いました. 質問者 お礼 2005/12/05 13:47 ｎが無限だったら確かにそうですネ。ありがとうございます。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 素数の逆数和についの証明 素数の逆数和が無限大に発散することを、自然数の逆数和が無限に発散することの考えを用いて示したいです。 以下の証明で２点ほど分からない部分があります。＾は乗数の意味です。 文中の(1)右辺を展開すると自然数の逆数和になるというのがどこから判断できるのかという点と、(2)オイラーが使用した公式は 0 ＜ x ≦ 1/2 のとき 1/( 1 - x ) ≦ 10^x はどのような公式なのか。がよく分かりません。 証明は下記になります。 無限等比級数の公式より、 -1<x<1のとき初項１、項比 x の無限等比級数は Σ x^n = 1/(1 - x) となりました。 ここで x に素数の逆数を入れていくと 1/(1-1/2) = 1/2^0 + 1/2^1 + 1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^4 + … 1/(1-1/3) = 1/3^0 + 1/3^1 + 1/3^2 + 1/3^3 + 1/3^4 + … 1/(1-1/5) = 1/5^0 + 1/5^1 + 1/5^2 + 1/5^3 + 1/5^4 + … 1/(1-1/7) = 1/7^0 + 1/7^1 + 1/7^2 + 1/7^3 + 1/7^4 + … のようになります。これらを辺々かけあわせると、 1/(1-1/2) × 1/(1-1/3) × 1/(1-1/5) × 1/(1-1/7) × … = (1/2^0 + 1/2^1 + 1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^4 + …) × (1/3^0 + 1/3^1 + 1/3^2 + 1/3^3 + 1/3^4 + …) × (1/5^0 + 1/5^1 + 1/5^2 + 1/5^3 + 1/5^4 + …) × (1/7^0 + 1/7^1 + 1/7^2 + 1/7^3 + 1/7^4 + …) × … となります。ここで右辺を展開すると、 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + … となり、これは自然数の逆数の和です。 これは無限大になりましたね。つまり U = 1/(1-1/2) × 1/(1-1/3) × 1/(1-1/5) × 1/(1-1/7) × … = ∞ なんですね。ここでオイラーが使用した公式は 0 ＜ x ≦ 1/2 のとき 1/( 1 - x ) ≦ 10^x です。これを利用すると、 U = 1/(1-1/2) × 1/(1-1/3) × 1/(1-1/5) × 1/(1-1/7) × … ≦ 101/2+1/3+1/5+1/7+… Uは無限大なのでそれより大きい 101/2+1/3+1/5+1/7+… も無限大となり、 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + … つまり素数の逆数の和も無限大になるわけです。 以上が素数の逆数和が無限に発散することの証明です。 もしよろしければ、よろしくお願いします。 二つの平方数の和について少し 質問させていただきます。 平方数と平方数を足すと、ある数になります。 例えば、３の平方と４の平方で２５になります。 ２５は、他の平方の和になることはありません。 ここでは、０は無視します。 そうして、複数の平方の和に分解される最小の数は ５０であることがわかります。 １の平方と７の平方、５の平方と５の平方。 その次は、６５です。 その次は、８５です。 その次は、１２５です。 このように、５の倍数が続きます。 しかし、２２１は５の倍数ではないですが、 ５の平方と１４の平方、１０の平方と１１の平方。 それでも、５の倍数が８５％にまで及びます。 まだ計算が足りないのかもしれません。 ２０×２０程度しか計算していません。 平方数の和に関して考えると、 平方数は、一ケタ目は、１、４、９、６、５、６、９、４、０となり、 その和を計算すると、 ５の倍数つまり、１ケタ目が０か５になるのは、３５％くらいになります。 円周率をランダムと考えて、０～４（４０％）を一つの数エックスとしてみました。 ３５％に近づけるためです。 そして、複数の平方数の和になる場合を考えました。 しかしエックスは８５％には遠く及ばず、 ５０％くらいで終わりました。 何か規則性のようなものが隠れていると思います。 でも、単なる偶然かもしれません。 参考図書などあれば、よろしくお願いします。 素数の逆数和 素数の逆数和は発散することについて 形式的に Π[p:全素数]1/(1-1/p) =1+1/2+1/3+1/4+・・・=∞ より両辺対数をとって Σ[p:全素数]1/p=log∞ という記述を見たのですが、対数をとったとき左辺がこのように変形できるのはなぜでしょうか？ 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた？ OKWAVE コラム 自然数の逆数の和について 4つの異なる自然数a.b.c.dの逆数の和をsとします。 sが1より小さいときに、sの最大値はいくつでしょうか？ また自然数の個数を任意の自然数にまで拡張した時に 総当たりでなくsの最大値の求める方法はあるのでしょうか？ 逆数の和でデータのユニーク数を出せるのはなぜ 連続するデータがあり、データの個数を出し、その逆数を合計すると、データのユニーク数になることをうまく説明したいのですが、「逆数の和」で覚えることはできてもそれは手法の説明になってしまいます。 なぜそうなるのか、どうしてこういう計算を採用するのか、といった観点でを中学～高校くらいまでの数学でわかるように説明できるでしょうか？ 品目 りんご みかん みかん りんご すいか めろん りんご 品目 個数 → 逆数 りんご ３個 → １／３ りんご ３個 → １／３ りんご ３個 → １／３ すいか １個 → １／１ めろん １個 → １／１ みかん ２個 → １／２ みかん ２個 → １／２ 逆数を合計すると４ データのユニーク数は４ りんご、みかん、すいか、めろん 確かに一致する。 参考 https://office-hack.com/excel/duplicate-data/ 平方和と偏差平方和について 平方和と偏差平方和について質問があります。 品質管理の本を読んでいたら、偏差平方和を平方和と呼んでいるものがありました。 『個々の測定値と平均値との差（これを偏差という）の２乗和を平方和（偏差平方和ともいう）といい、Ｓで表します。』（日本規格協会の本より） これ以外にも、品質管理関係の本を読んでいたら同じ記述がたくさんありました。 自分自身の解釈では、 ・平方和は X1^2+X2^2+X3^2+.....Xn^2 で、 ・偏差平方和は、(X1-Xbar)^2+(X2-Xbar)^2+(X3-Xbar)^2+.....(Xn-Xbar)^2 で、同じ物ではなく違うものです。 現にExcelの式でも、 ・平方和は SUMSQ(数値1,数値2,...) ・偏差平方和はDEVSQ(数値1,数値2,...) となっています。 平方和と偏差平方和は完全に別物だと思うのですが、どうしてこういった記述がされているのでしょうか？ トリガミを防ぐ為逆数の和の逆数を使う(・´з`・) 競馬初心者でまだ、馬券を購入したことは一度もないのですが、 競馬に興味を持っています。 競馬をやる人は当たり前ですが、こういう計算をして馬券を購入しているのですか？ 意外と頭使いますね。 (・´з`・) トリガミを防ぐ簡単な方法（逆数の和の逆数） https://ameblo.jp/sonnet18/entry-12003738248.html 1.買い目がどうしても「トリガミ」になるケースの判定 ザックリ言って、軸馬から馬連オッズ1.5倍の馬券と 2.0倍の馬券という2点に流したら、どんなに資金配分を頑張っても、 どうしても「トリガミ」になるケースがあるのはすぐ分かります。 でも、買い目の点数が増えると、すぐ分からなくなっちゃう... こうして、結果「トリガミ」になるケースが多いと思うので、 最初に大丈夫かケース判定しておこうっと。 早速、逆数の和の逆数を利用！ 逆数の和の逆数が1以上ならOK、1未満ならNGのはず。 例えば、さっきの馬連オッズ1.5倍と2.0倍の馬券に2点流した場合。 1/1.5 + 1/2.0 = 1.166666666... → 1/1.166666666... = 0.857142857 < 1 NG うん、合ってる。 例えば、2014年の阪神大賞典で、 軸馬 1.ゴールドシップから、2.バンデ、6.サトノノブレス、 7.タマモベストプレイ、8.アドマイヤラクティの4点に流した場合。 1/3.8 + 1/3.0 + 1/19.5 + 1/9.4 = 0.754156258... → 1/0.754156258... = 1.325985151 > 1 OK この馬連4点流しなら、資金配分に気を付ければ「トリガミ」しないように 投資できる！ 2.「トリガミ」しない資金配分を計算 逆数の和の逆数が出ていれば、配分割合は簡単に出るはず！ 逆数の和の逆数を各オッズで割ればよいのかな... 2.バンデ 1.325985151/3.8 = 0.348...（35%） 6.サトノノブレス 1.325985151/3.0 = 0.441...（44%） 7.タマモベストプレイ 1.325985151/19.5 = 0.067...（7%） 8.アドマイヤラクティ 1.325985151/9.4 = 0.141...（14%） 例えば10,000円の資金なら、2.バンデに3,500円、 6.サトノノブレスに4,400円、７.タマモベストプレイに700円、 8.アドマイヤラクティに1,400円という風に投資すれば 「トリガミ」しません！ 最初に考えていたとおり逆数の和の逆数を利用してあげれば、 当たった時「トリガミ」はしない♪ ただし、この資金配分で投資するのが 最も優れているというわけではないので注意！！！ 組み合わせの和 １からｎまでの数字のうち、異なる２つの数を選ぶ選び方はn(n-1)通りですが、 １．2つの積の和 ２．2つの積の逆数の和 とかの公式はあるでしょうか。 無限数列の逆数和について フィボナッチ数列{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…}を逆数にした和、 1＋1＋1/2＋1/3＋1/5＋1/8＋1/13＋1/21＋1/34＋1/55＋1/89＋… は収束するのでしょうか？(素数の逆数和より粗いので発散するかどうか予想ができません。) するとすれば、どのような値になるのでしょうか？ また、トリボナッチ、テトラナッチ、…とした場合はどうなるのでしょうか？ 数の各桁の平方和をとり続けると1か37が出てくることの証明 百科事典を読んでいたら次のような記事が載っていました（要約）。 自然数（10進数）の各桁の数字の2乗の和を作る。 この結果についてまた同様に各桁の2乗の和を作る。 この操作を繰り返すと (1) 37→58→89→145→42→20→4→16→37→… で循環 (2) 1→1→… で循環 のどちらかになる。 自然数の各桁の平方和をとり続けると必ず1か37が出てくるというわけですが、この証明を知りたいです。 証明の載っているHP・書籍等ご存知でしたら教えてください。 平方和、平方差とは？ こんな簡単な質問ですが、 よく、「平方和、平方差」と聞きますが、どういう計算式なんでしょうか？ 数学が全くだめなのでわかりやすく教えていただけないでしょうか？ 数列の逆数の和 初項１ 公比２ 項数ｎ の等比数列の逆数の和を表したいのですが、 単純に (1-1/2^n)/(1-1/2) = 2(1-1/2^n) とおいただけでは このあとにする計算ができないのです 解答にはなぜか (2^n-1)/(2^(n-1))となっていました。まったくわかりません・・ 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 回帰平方和 > 全平方和 の原因 当方，統計学に関してはほぼ素人です。 実験データの解析で減衰曲線の理論式のフィッティングを行ったのですが，その決定係数が何故か1以上になってしまいます。ExcelのDevSq関数で理論値と実験値からそれぞれ算出した回帰平方和 ÷ 全平方和で算出していますが，その時 回帰平方和 ＞ 全平方和になってしまいます。式や計算範囲の確認は行ってみましたが，素人目線では特に問題があるようには感じられません。以下の点についてご教授ください。 ・決定係数1以上に意味があるのか？ ・計算間違え以外で回帰平方和の方が大きくなってしまうことがありうるのか？あればその原因は何か？ 参考までに使用したデータのグラフの画像を示します。 因みに現状では決定係数R^2＝1.0788程度で，用いた式は以下の単純な指数関数減衰曲線で，フィッテングパラメータ変数も減衰速度定数(k)のみです N(t)=N0*exp(-1*k*t) 恐縮ですが，エンドユーザーレベルの知識しか持ち合わせない故，分かりやすく教えて頂ければ幸いです。 よろしくお願いします。 力学 成分の和と三平方 非常に情けないのですが、力学の復習をしていたところ、成分の和と三平方の定理の違いが分からなくなってきました。今まで何気なくやっていた事なのですが、急にこけました。。。 恐らく1週間ぐらいすればなんでもなくなると思いますが、気になって仕方が無いので初心に戻ります。成分の和と三平方の違いは何ですか？ 与えられた２数が和と積のときそこから２数を求めるこ 与えられた２数が和と積のとき、２数を求めることができる。 このとき２次方程式を利用して求めることができるようなのですが ２次方程式とは何？と感じてしまいました。 どうしてここで２次方程式なのだろう…と感じてしまいました。 公式を単に覚えているだけではいけないのだなとかんじました。 公式 は利用の仕方 なのでしょうか… 数学というものがわからなってしまいました よろしくお願いいたします 自然数の和の求め方 ４から１８までの自然数の和を求めなさい。 答えは１６５です。 何か公式などの、答えを簡単に求める方法があるのでしょうか？方法を教えてください。 よろしくお願いします。 数の和について 2から５までの数を1回ずつ使って異なる4桁の数をつくる方法は24通りある。これらすべての数の和は 千くらいの数の和、百の位の数の和、十の位の数の和、一の位の数の和についてそれぞれ計算して。 まず、最初に、千の位数の和について 千の位が２のもの、千の位が３のもの、千の位が４のもの、千の位が５のもので 6個あるのことがわかりません。 どうして6個あるのですか？ 平方根について質問です！ (1)数字の和の平方根(自然数) (2)数字の和と差の積 この問題ってヒント少なすぎじゃないですか？ 平方根自体あやふやなのでわからないです（ ; ; ） 誰かわかる方教えて下さい！ よろしくお願いします。 入力した任意の数の平方根を求める C言語を少しずつですが勉強していて、最小値から最小値までの和を求めるのと、入力した数の2乗を求めるプログラムはわりと楽に完成したのですが、平方根を求めるというのができずに困っています。 プログラムの流れを説明すると、 1.どの処理を行うのか、数字+Enterで選択(平方根は、case 3です) 2.その処理を行う 3.結果の出力 です。 平方根の処理は、 scanfで実数を変数に代入→計算を行う関数を実行→結果を出力です。 症状としては、例えば4と入力して処理を実行すると、桁数のすごく大きい数が入力した数として処理され、また平方根も正しく求められていないようです。 (コンパイル時にエラーは出ていません) 逆数をとるということ a=1、<an+1>=<an>-1/<an>+3で定義される数列{an}について、 (1)<bn>=1/<an>+1とおくとき、<bn+1>と<bn>の関係式を求めよ。 (2)一般項{an}を求めよ。 (1)なのですが、 <bn>=1/<an>+1の分母をはらい、<bn>で両辺を割り、 <an>+1=1/<bn>として、代入という手順になりますよね。 (問題解説にはそうありました。) 1/<bn+1>=2/2<bn>+1 ※両辺の逆数をとって※ <bn+1>=2<bn>/2+1/2 <bn+1>=<bn>+1/2 ・・・(答) この※部分なのですが、逆数を取るということは 「分母と分子をひっくり返す」とありました。 こうすることでも 「関係式に誤差が生じない」 というの が不思議です。 例えば、 3x=6 x=2 という式があったとします。 これは逆数をとると 1/3x=1/6 x=2 となり、同じ答えが出てきますよね。 この問題の場合の式の逆数をとるということは、↑これと 同じ原理のことなのでしょうか。 自分なりに調べてみたのですが、 「逆数とはかけて１になるような２つの数」ということと、 この問題の式が関係してるということが漠然としています。 それならば、最初の<bn>=1/<an>+1を変形するとき、 わざわざ両辺を<bn>で割らなくても、逆数をとって代入 するという手順を踏んでもいいのではないかと思ったので すがいかがでしょうか。 よろしくお願いします。 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市（長野県）在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル？プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す！格安SIMと端末選びのポイントは？ 友達って必要？友情って何だろう 大震災時の現実とは？私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ！負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
お礼
ｎが有限の場合は、初等的には無理なのですね。ありがとうございました。