線形性ってなんですか？

質問

ずばり線形性ってなんですか？
高校３年間でとうとう意味を知ることが無かった用語です。
わかる人がいたら教えてください！

回答No.8

ht1914

＃４です。
Ｓ．ワインバーグ著「究極理論への夢」（ダイヤモンド社）を読んでいて線形性について書いている文章を見つけました。（ｐ９９）（ワインバーグは１９７９年にノーベル賞を貰っています。）

量子力学の性質の一つに「線形性」があるそうです。以下３つは引用です。

「古典物理学における線形性はどんな場合に於いても厳密なものではない。それに対し量子力学はあらゆる状況の下で厳密に線形であると考えられている。」
「線形であるとは・・・非常に雑な言い方をすれば系の状態を任意に変えたとき、その変化に対する系の応答が、変化に比例するのである。」
「この線形性から出る非常に重要な帰結は・・・量子系はカオス性を示し得ないということである。」

初期条件を少し変えたとき、それによって引き起こされる系の変化が小さいというのは線形性の特徴です。逆に初期条件の僅かな変化が系に大きな変化を引き起こしてしまい、結果の予想がつかなくなるというのは非線形現象の特徴です。カオスとかフラクタルというのは非線形現象の例です。重ね合わせの可能な調和振動に対して非線形振動というのもあります。ソリトンという言葉で表されるどこまでも伝わる孤立した波は非線形振動の例です。（南米で起こるポロロッカは有名ですね。）

外部の条件の変化が系に引き起こす応答（レスポンス）の大きさは条件の変化の大きさに比例するという性質は物理現象として多く見られます。オームの法則もフックの法則のこの性質の例です。磁化率とか弾性率というのもこれに基づいています。統計力学の分野では一次応答理論（ｌｉｎｅａｒ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｔｈｅｏｒｙ）として一般化されています。

「ｌｉｎｅａｒである」とは「ｌｉｎｅのような性質を示す」です。

回答No.7

yumisamisiidesu

定義自体は1様の所で説明されている通りですが
私はそのような定義の起源として分配法則があるんじゃないかって
推測してみました.
分配法則は長方形の面積を縦線で2分して考えることで素朴に正しいことが理解できると思います.
つまり、分配法則を抽象化して得られる線形性は問題をきれいに切り分けできることに繋がる概念なんだと思います.
また、線形性は全ての数学の基礎的な概念というよりは、線形性を基にして展開できる数学的理論が扱いやすいから発展してきたというのが実際はあっているんじゃないかって何気に思っています.

回答No.6

sanori

＃１さんのご回答で、すでに正解なのですが、
式で書くと直感的に分かりにくいかもしれませんね。

大学に行くと線形微分方程式とか出てきて、話がややこしくなるのですが、
高校でいう「線形性」というのであれば、下記の例でよいと思います。

１冊１０００円の本があります。
日米の為替レートは、￥１００／＄１

５冊買うためには、
日本円では、￥５，０００　が必要となり、
米ドルでは、＄５０　で良いです。

Ｘ－Ｙ座標系、つまりは方眼紙で言えば、
Ｘ軸にお金の量、Ｙ軸に冊数を取れば、
日本円でのグラフで、５，０００のところを５０に書き換えれば、すなわち、目盛り間隔を１００倍に広げれば、米ドルでのグラフになります。

３冊買うには、日本円で￥３，０００、米ドルで＄３０
２冊買うには、日本円で￥２，０００、米ドルで＄２０

これら２つを、連立方程式を解くときの途中みたいに、各々足し算すると、

５冊買うには、日本円で￥５，０００、米ドルで＄５０
となり、足し算、掛け算の法則性が維持されています。

結論
線形性とは、方眼紙の目盛り（マス目）を伸び縮みさせても、加減乗除の法則性が維持されること。

お礼

ご解答ありがとうございました！
具体的な説明で理解しやすかったです。
最後の結論は暗記させていただきますよ！！

回答No.5

kabaokaba

#3に追加

比例 => 線型性
ですけども，
比例を「ずらした」一次関数にも対応物は存在します．
この場合は affine（「アフィン」とか「アファイン」と読む）という
ものになり，数学ではちょっと影の薄いものになりますが，
工学系の話で幾何色が強い話になると
よく顔を出します．

回答No.4

ht1914

私は線形性（ｌｉｎｅａｒ）を直線性と理解していました。

この質問を見てｗｉｋｉを開いてみると＃１のご回答にあるように
ｆ（ａ＋ｂ）＝ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）
が成り立つ性質と書いてありました。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E6%80%A7

これは直線の中の原点を通るものについて成り立つものです。値そのものの間に比例関係があるということになります。
直線性の場合は変化量の間に比例関係があるということになります。

私の分野は主に物理、化学です。ある現象での変化をｌｉｎｅａｒであるというときは直線性で言っていると思います。時間で変化を追いかけているときは過去の変化をそのまま未来に延長できるということを意味しています。一週間の変化を観測すると一ヶ月先、１年先の予測が出来ると言うことです。経済学の分野で言う線形計画もこの考えのものです。（経済学の場合は変数が多いですから一次式で表されるという意味での方がいいのかもしれません）

直線的に変化を予測できない場合、「非線形」であると言います。

「線形」が「原点を通る直線」の意味だけに限定されているとすると「非線形」には原点を通らない直線も含まれてしまうことになります。これは普通使われている非線形の意味とは異なると思います。

物理や化学、経済学等では線形性とは直線性という意味で使っていると思います。
直線性が分かれば原点を設定して比例関係にすぐ移行できる場合が多いですがいつでもそういうことが出来るとは限りません。その現象を記述している量のゼロという値がいつも意味を持っているかどうかが分からないからです。
物理化学の分野でいうと温度があります。気体の温度を上げていったとき、体積は直線的に増加します。でも０℃は特別な意味を持っていません。比例関係を成り立たせるためには絶対温度の導入が必要です。これは単に操作的なものではなく、温度の概念の変更を要求するものです。

お礼

ご解答ありがとうございました！
ht1914様の説明は最も発展的な説明に感じられましたが、
分野による違いの理解に大変役に立ちました。
経済学の中での説明はうれしいオマケでした！！

回答No.3

kabaokaba

数学的な定義はNo.1さんのものでほとんどすべてです．
「ほとんど」というのは・・・状況に応じて
fとかxとかyが「何であるのか」が
変わりますので「ほとんど」です．

じゃ，なんでこんな式を満たすことを「線型性」（線形性）というか
ですが，英語の方が意味が分かりやすいかも．
英語では linear とか linearity です．
つまり，line，直線です．数学で「直線」というと
小学校以来おなじみの「比例」と
中学校で出てくる「一次関数」（高校では ax+by+c=0 とかになる）です．
「線型性」はそのうちの「比例」のグラフの一般化です．
比例の式は y=ax ですね
この y=ax は分配法則と乗法の結合法則が成り立つ，つまり
a(x+x') = ax + ax'
(aa')x = a(a'x)
です．y=ax=f(x) と書くことにすると
a(x+x')=f(x+x')
ax+ax'=f(x)+f(x')
f(a'x)=a(a'x)=(aa')x = (a'a)x = a'(ax) =a'f(x)
＃aとa'は実数なので積の順序が交換できる．
ということになります．

また，逆に，fが実数の関数だとして，
f(x+x')=f(x)+f(x')，f(a'x)=a'f(x)を満たすと
実は f(x)=ax という形にかけます．
＃厳密にはいろいろ議論が必要ですが，直観的にはOKでしょう．

というようなわけで「比例」という直線の性質を
このように抽出して「線型」というのです．
そして，この性質をみたすものを
実際はどんなものであるかは考えずに，
「線型性」をもつということにしています．
線形性があると「直線」のような感覚で議論ができます．

お礼

ご回答ありがとうございました！
大変参考になりました！

回答No.2

N64

一言で言うと、直線的で曲がっていない。
だから、いろいろな計算が簡単で分かりやすくなる。
でしょうかね。

回答No.1

kkkk2222

一番簡単なものしか書けません。
後はＷＥＢ検索で膨大な資料が記載されています。

（１）　ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）
（２）　ｆ（ａｘ）＝ａｆ（ｘ）

（１）（２）合わせて
ｆ（ａｘ＋ｂｙ）＝ａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）
－－－
例
Ａを行列として、一次変換を考える。
ｘ、ｙ、Ａｘ、ＡｙをＶＥＣＴＯＲとして
Ａ（ａｘ＋ｂｙ）＝ａ（Ａｘ）＋ｂ（Ａｙ）
が成立します。
ーーー

お礼

ご解答ありがとうございました！
kkkk2222様の話を聞くと、高校のときに
そのような(1)、(2)の証明のような問題の証明を
解いた記憶がありました。
もう一度教科書で確認をしてみたいと思います！