線形微分方程式の線形とは？

質問

線形微分方程式の線形の定義がわかりません．
何を基準に線形，非線形と定義しているのでしょうか？

微分方程式に，線形代数で扱う線形性があれば，
線形微分方程式と考えていいのでしょうか？

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

D=d/dxと書くと、{a1*D^n+a2*D^(n-1)+…+an*D+a(n+1)}f=gの形の微分
方程式が線形といわれます。
D^n=d^n/dx^nの意味です。
大雑把にいうと、関数全体の集合は線形空間の性質がありますから、線
形空間と考えられます。無限次元の関数空間です。
そして、微分作用素a1*D^n+a2*D^(n-1)+…+an*D+a(n+1)を改めてDと
書くと、D(f+g)=Df+Dg、D(af)=a*Dfが成り立ち、関数空間の間の線型
写像と考えられます。このようなことから、上の形の微分方程式は線形
と呼ばれます。
つまり、微分作用素が関数空間の間の線型写像かどうかということで
す。
このように問題を捉えなおすことで、一般的な解法ができたり、解の存
在が示せたりして、このような考えをするのが関数解析といわれる数学
の分野です。

お礼

すごく参考になりました．
また，関数解析に興味がわいてきました．
オススメの参考書など紹介していただけたら，
勉強の励みになります．

ありがとうございました．

回答No.2

zk43

裳華房、共立出版の関数解析の本が有名かと思います。
関数解析の入門的なやさしい本は思いつきません・・・
私は共立出版の方は持ってますが、大学時代は完全に読破できずに挫折
しました。
関数解析に進むには、まず微分積分、線形代数、位相などの基礎がしっ
かりできていないと全く進まないので、まず基礎固めが絶対的に必要で
す。
継続して勉強に励まれることを・・・

お礼

お返事ありがとうございます．
基礎をしっかり固めてから，関数解析に挑戦したいと思います．