線形・非線形って何ですか？

質問

既に同じようなテーマで質問が出ておりますが、
再度お聞きしたく質問します。

※既に出ている質問
『質問：線形、非線型ってどういう意味ですか？』
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=285400
結局これを読んでもいまいちピンと来なかった...(--;

1.線形と非線形について教えてください。
2.何の為にそのような考え方(分け方)をするのか教えてください。

勝手なお願いですが、以下の点に留意いただけると大変うれしいです。
何せ数学はそんなに得意ではない人間＋歳なので...(~~;

・わかりやすく教えてください。(小学生に説明するつもりぐらいだとありがたいです)
・例をあげてください。(こちらも小学生でもわかるような例をいただけると助かります)
・数式はなるべく少なくしてください。

『そんな条件じゃ説明できないよー』という方もいると思いますが、どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

回答No.10

freedom560 · ベストアンサー

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m（あと、長文も勘弁してください）

数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、ｘの値が変化するにつれて変化するｙがあったときに、

（ｙの増加量）／（ｘの増加量）＝Ａ（一定）

という規則が成り立つからです。

ｘやｙの例としては昨日の例で言う例１だとｘがガムの個数、ｙが全体の金額、例２だとｘが時間、ｙが走った距離です。

この規則が何で役に立つかというと、式をちょっと変形すると、

（ｙの増加量）＝Ａ×（ｘの増加量）・・(1)

ということがわかります。つまり、Ａの値さえわかれば、ｘが増えたときのｙの値が容易に推測できるようになるわけです。

ここで「Ａの値さえわかれば」と書いていますが、この意味を今から説明します。

自然界の法則を調べるためには何らかの実験を行います。例えば、りんごが木から落ちる運動の測定を行います。
ここから質問者様がイメージできるかわかりませんが、りんごは時間が経つにつれて（下に落ちるにつれて）落下するスピードが速くなるんです。今、実験として、１秒ごとにりんごのスピードを測定したとします。そしてその結果をグラフにプロットしていくと、直線になることがわかります。（ここがわかりにくいかもしれませんが、実際に実験を行うとそのようになるのです）

数学の問題のように初めから「時速１００kmで走る」とか「１個１００円のガム」とかいうことが与えられていれば直線になることはすぐにわかります。
しかし、自然界の法則はそうもうまくいきません。つまり、実験を行ってその結果をプロットした結果が直線状になっていたときに初めて「何らかの法則があるのではないか」ということがわかり、上で書いた「Ａの値さえわかれば」の「Ａ」の値がプロットが直線状になった結果、初めてわかるのです。

そして、プロットが直線状になっているということは、永遠にそうなることが予想されます。つまり、今現在はりんごが木から落ちたときしか実験できませんが、その結果を用いて、もしりんごが雲の上から落としたときに地面ではどのくらいのスピードになるかが推測できるようになるわけです。ここで、このことがなぜ推測できるようになるかというと、(1)で書いた関係式があるからです。このように「なんらかの法則があることが推測でき、それを用いて別の事象が予言できるようになる」ことが「線形」が重要だと考えられる理由です。

しかし、実際に飛行機に乗って雲の上からりんごを落としたらここで推測した値にはならないのです。スカイダイビングを想像するとわかると思いますが、最初はどんどんスピードが上がっていきますが、ある程度でスピードは変わらなくなります。（ずっとスピードが増え続けたら、たぶんあんなに空中で動く余裕はないでしょうか？？）つまり、「線形から外れる」のです。

では、なぜスピードが変わらなくなるかというと、お分かりになると思いますが、空気抵抗があるからなんですね。（これが昨日「世の中そううまくはいかない」と書いた理由です）つまり、初めは「線形」かと思われたりんごを落とすという実験は実際には「非線形」なんです。非線形のときは(1)の関係式が成り立たないので、線形のときほど容易には現象の予測ができないことがわかると思います。

では、非線形だと、全てのことにおいて現象の予測が難しいのでしょうか？実はそうでもありません。例えば、logは非線形だということをNo.5さんが書かれていますが、「片対数グラフ」というちょっと特殊な形のグラフを用いるとlogや指数関数のグラフも直線になるんです。つまり、普通のグラフでプロットしたときに「非線形」になるため一見何の法則もないように見えがちな実験結果が「片対数グラフ」を用いると、プロット結果が「線形」になってlogや指数関数の性質を持つことが容易にわかり、それを用いて現象の予測を行うことが（もちろん単なる線形よりは難しいですが）できるようになるわけです。

これが私の「線形」「非線形」の理解です。つまり、

1) 線形の結果の場合は同様の他の事象の推測が容易
2) 非線形の場合は同様の他の事象の推測が困難
3) しかし、一見非線形に見えるものも特殊な見方をすると線形になることがあり、その場合は事象の推測が容易である

このことからいろいろな実験結果は「なるべく線形にならないか」ということを目標に頑張ります。しかし、実際には先ほどの空気抵抗の例のように、どうしても線形にはならない事象の方が世の中多いんです。（つまり、非線形のものが多いんです）

わかりやすいかどうかよくわかりませんが、これが「線形」「非線形」を分ける理由だと思っています。

やっぱり、「線形の方がなんとなくわかりやすい」くらいの理解の方がよかったですかね(^^;;

お礼

いえいえ、大変参考になります(^o^)
ありがとうございました！

『線形の方がわかりやすい』だけでなく
だからこそ『線形に出来る方法があればなるべく線形に出来ないか考えよう』ということと理解しました。

大変助かります。
ありがとうございました。

回答No.9

rabbit_cat

１．については、皆様のとおりです。

２．の何のために…についてですが、
「線形な系では、複雑な現象を、簡単な要素ごとに分解して考えることが可能」ってことにつきます。

例えば、なんだかよくわからない線形なシステム（ブラックボックス）があったとして、
なんか複雑な入力信号Ａを与えると、複雑な出力信号Ｂが出てくるはずです。この出力Ｂを予測したいとします。
ここでもし、複雑な入力信号Ａは、実は簡単な入力信号Ａ１～Ａ３の和であるとわかったとします。
簡単な入力信号Ａ１～Ａ３を入力すると、それぞれ簡単な出力信号Ｂ１～Ｂ３が出力されるとすれば、複雑な入力信号Ａ＝Ａ１＋Ａ２＋Ａ３を入力したときの出力信号Ｂは、Ｂ１～Ｂ３の和になります。
つまり、複雑な入力信号を、簡単な入力信号の和の形に分解して、それぞれの要素ごとに考えることが可能なわけです。

線形なシステムは、「簡単な現象がたくさん集まって、複雑な現象が起こる」という人間の直感が素直に成り立つシステムです。したがって、複雑な現象を解析するには、複雑な現象を簡単な現象の組み合わせに分解して、それぞれについて考えればよいわけです。

もし、システムが非線形だと、こうはいきません。複雑な現象を解析したかったら、複雑なまま扱わなければなりません。簡単な要素に分解するという手法は（一般的には）使えないわけです。

お礼

要素ごとに分解可能かどうかを知る為に分けるのですね...
分けること自体に意味は無く、そこからのアプローチの為に分けるということで理解しました。
とてもわかりやすくて私でもイメージできました。
ありがとうございます。

回答No.8

freedom560

例１）
１個１００円のガムを売っているＡ商店と
１個１００円のガムを１０個買うごとに５０円割引してくれるＢ商店があるとします。

このとき、
Ａ商店は２個、３個、・・１０個というように買う数を増やしていくと、１個につき均等に１００円ずつ増えていきます。

しかし、Ｂ商店のときは２個、３個、・・９個までは均等に１００円ずつ増えていきますが、１０個買うときはその規則から外れてしまいます。

このとき、Ａ商店の売り方は「線形」、Ｂ商店の売り方は「非線形」です。

例２）
時速１００ｋｍで走り、かつ信号を無視してはしる車Ａと、時速１００ｋｍで走るが、赤信号では止まる車Ｂがあるとします。

このとき、車Ａは時間が経つごとに走った距離が一定にどんどん増えていきますが、車Ｂは赤信号では止まってしまうので時間が経つごとに走った距離は一定とはいえません。

このとき、車Ａの走った距離は時間に対して「線形」、車Ｂの走った距離は時間に対して「非線形」といいます。

線形、非線形の例はこんな感じです。つまり、あるものが一定値増えたときに別のあるものが同じ割合だけ増え続けるものが線形。それ以外のものが非線形です。

小学生にもわかるように「何のためにこう考えるか」の説明をしてくれといわれると非常に難しいですが・・

「線形」の考え方の方がなんとなく規則正しくてわかりやすくないですか??(^^;;

まぁ、世の中全てがわかりやすかったら「線形」になるんだけど、世の中そううまくはいかないから「非線形」という考え方があるくらいに理解していたらよいのではないでしょうか（爆）

お礼

わかりやすいご説明ありがとうございました(^^)
そうですね、確かに世の中はそううまくいかないですね(笑)
ありがとうございました！

回答No.7

ondy

線形結合という言葉について、私は電車のようなイメージを持っています。
つまり、各項（車両）が足し算（連結器）で一列に結合（連結）されているようなイメージです。
一列にというのがポイントで、車両が並列につながっていたり、分岐していたりしてはいけません。
そう考えれば線形結合という言葉のイメージがわくのではないでしょうか。

お礼

電車のイメージですね。
ありがとうございました！

回答No.6

scale--free

線形というのは、皆さんが書いている通りなのですが、
簡単な例はばねばかりでしょうか。
ばねばかりは、重りをつるすとばねが伸びて、どのぐらい伸びたかで重りの重さを測るのもです。

普通のばねばかりは線型です。
いま、ばねばかりに１０グラムの重りをつるしたとき、
ばねが１ｃｍ伸びたとしましょう。
次に、２０グラムの重りをつるすとばねはどれだけ伸びるかというと、２ｃｍですね。
一般には、１０×a　グラムつるすと、ばねは a ｃｍのびますね。
つまり、線型性とは、比例の関係が成り立つことを要請します。
（ただし、比例関係だけでいいのは、一次元のときだけで、二次元以上になると重ね合わせの性質を要請しなくてはなりません。しかしここでは、それは省略しましょう。)

それでは、非線形というのは、どうゆうことでしょうか。
非線形というのは、線型ではないということなのです。
ばねの例で言えば、１０×a グラムの重りをつるしたときに、a×a ｃｍ伸びるようなばねの場合です。
このようなばねには、比例の関係は成り立っていません。

では、なぜ線型と非線形を区別するのでしょうか。
実は、非線形の場合で変数がほとんど変化しないのなら、それは線型であると近似できます。
これを上の非線形のばねの例で見てみましょう。

いま、ばねに２０グラムの重りがつるしてあるとしましょう。このときのばねの伸びは、４ｃｍです。
そこで、２０グラムの重りははずさず、さらにほんの少しだけ重りを追加してみます。
追加する重りの重さを、１０×ｂ　グラムとしましょう。
ｂ　は十分小さい値で、０．０１とか０．００１ぐらいと思ってください。
すると、つるしている重りの重さは１０×(２＋ｂ）グラムですから、ばねの伸びは
(２＋ｂ)×（２＋ｂ）　＝　４＋４×ｂ＋ｂ×ｂ
です。
従って、１０×ｂグラム増やしたことで、ばねはさらに
４×ｂ＋ｂ×ｂ　ｃｍ
伸びたことになります。

ｂは十分小さかったので、ｂ×ｂというのはあまり結果に影響がありません。例えば、ｂ＝０．０１だとすると、
４×ｂ＋ｂ×ｂ　＝　０．０４＋０．０００１
となりますね。そこで、ｂ×ｂを思い切って無視します。(この操作を近似といいます。)
すると、１０×ｂグラムつるしたことで、さらに伸びた長さは、４×ｂとなって比例の関係が成り立っています。

このように、線型は非線形をすごく小さい範囲で見たときに現れる、ということができます。

お礼

近似化についてもなんとなく理解できました。
ありがとうございました。

回答No.5

imoriimori

以下他の方々の説明とかなりかぶりますが、私が学生に説明するときの言い方です。（がさつな言い方で専門家から叱られるかもしれませんが。）

原因がk倍なら結果もk倍（つまり原因と結果とが比例関係にある）というのが線形、そうでないのが非線形。

例えばニュートンの第何法則だか、加速度＝力／質量　において、力が１０倍なら加速度１０倍で　力と加速度とは線形の関係にある。ニュートンの法則は線形であるという例。

対数はlog(2*3)=log(2)+log(3)≠2*log(3)だから非線形。平方根も非線形。原因と結果との関係が、指数関数とか２乗とか対数とか平方根とか、とにかく比例関係以外で記述される現象は非線形。

線形はきれいでエレガントな議論ができるんです。線形なら、原因aに対する結果がAであり、原因bに対する結果がBであるならば、原因a+bに対する結果はA+Bである、なんていう法則が成立するわけで、こういう法則を利用すると、ややこしい問題を優雅に解けたりします。非線形ならそうはいかない。

なので、扱う問題が線形か非線型かの区別は大事になります。それでもって取組方が変わりますので。

お礼

ご回答ありがとうございます
『線形・非線形で取組方が変わるから』というのは非常に雲が晴れた気がしました。
ありがとうございました。

回答No.4

ondy

こんにちは。
簡単に言ってしまえば、線形の性質を持つものは、どんな状況で足し算をしても同じ性質を持っているということです。
たとえば、重さ、長さ、速度、はそれぞれどんなときも単純な足し算ができます。（相対性理論の話を抜きにして。）普段の生活で普通にやっている操作です。
自然界で一つ例を挙げると、波の位相は線形の性質を持っています。
波Aの振幅が+a、波Bの振幅が+bで二つの波が重なったとき、その振幅は単純な足し算a+bになります。

数学的に書くと、f(x+y)=f(x)+f(y)が成り立てば線形です。

線形でないものとして例えば
f(x)=x^2 があります。

f(x+y)=(x+y)^2=x^2+y^2+2xyとなり、余計な2xyがつくため、f(x+y)=f(x)+f(y)は成り立ちません。

私も、大学の講義でいきなり線形という言葉が出てきて、何だそりゃと思いました。
定数倍の和で表すことを線形結合といいますが、慣れてくればそのような言葉の違和感もなくなりました。普段の生活で、例えば車の燃費はスピードによって変わるけどこの関係は線形ではないなと考えたりもします。

お礼

ありがとうございました！

回答No.3

take008

直線の式は ax+by+c=0 のように表されますね。
このように，定数倍と足し算・引き算で表されたものを線形と言います。

ベクトルの例（x,y,z をベクトルとします）
ax+by+cz を線形結合といいます。
x・y（内積）や x×y（外積）を含んだ式は非線形です。

平面の点の変換（Ａは２×２行列，ｘ，ｙ，ａは点を表す２×１ベクトル）
線形変換は ｙ＝Ａｘ＋ａ と表せるもので，回転，拡大縮小，平行移動などがそうです。
なお（斉）一次変換は ｙ＝Ａｘ の形に制限したもので，平行移動は表せません。

微分や積分の計算は
(a f(x) + b g(x))' = a f'(x) + b g'(x) のように線形を保つ
のような言い方もします。

微分方程式では，y,y',y'' に関して考えるので，
y''-2xy'+x^2y=e^x は線形微分方程式です。
y'=1/y は線形ではありません。

お礼

ありがとうございました。
線形微分方程式はまだまだ勉強しなければいけません...(~_~;

回答No.2

ymmasayan

１．線形、非線形と言う言葉が悪いですね。
　　直線形、非直線形といったほうがぴったりです。
　　英語では、リニアー、ノンリニアーですから下のニュアンスです。
２．分ける理由は取り扱いの複雑さが全く違うからです。
　　線形は算数で言うと正比例のこと、非線形は正比例でないことです。
　　グラフを書いたとき直線になるかならないかです。

例えば歩く時間と歩いた距離の関係を考えます。
速度が一定であれば歩いた距離は速度×時間です。
ところが途中で疲れて速度が落ちて、おまけに途中で一休みしてと言うことになると速度×時間では計算できません。当然グラフもガタガタです。

もう一つ例をあげます。消費税は購入金額にかかわらず５％です。これは線形です。
所得税は収入との関係が複雑です。特に収入の多い人ほど税率が高いです。これは非線形です。

上の２つの例では横軸：時間、縦軸：歩いた距離
横軸：購入金額または所得、縦軸：払う税金でグラフを書いてみると直線形と非直線形の区別は一目瞭然です。

蛇足ですが、直線の集まりであっても折れ線グラフは非線形に入ります。

お礼

わかりやすいご説明ありがとうざいます！

『分ける理由は取り扱いの複雑さが全く違うから』ということでわかりました。

つまり分けたから解ける訳ではないということですね。
アプローチを考える上でのカテゴライズだと認識しました。

ありがとうございました。

回答No.1

Deerhunter

イメージ的には

線形：まっすぐ、直線、見通しが利く、
つまりｘ－Yのグラフでは直線で表される比例関係、ｘの増加にともなって一定の割合でYも増加していく

非線形：その他全て、曲がってる、変化が激しい、予測がつかない、
例えば　反比例のグラフ、や二次関数のグラフのようなもの、ぐにゃぐにゃした曲線のグラフ

線形のものは、例えば　スーパーで１個１００円のチョコを　２つ買えば２００円、１０個買えば１０００円というふうに、日常的に良くある状況で、理解・イメージしやすいし、問題を解くのも簡単です。

非線形の例は、例えば累進課税のシステムで、年収の額によって税率が変わるとか。科学における問題では、曲線がどのように曲がっていくのか分からないので、非常に予想が立ちにくく、問題を解くのが難しくなります。

どうしてこのように２分するかは、多分線形の問題はどんなに複雑でも必ず解ける　のに対し、非線形は必ずしも解けないからだと思います。

ちなみにここで言う問題とは実際は、ある条件下で最大や最小を見つける最適化問題や、関数の微分の形で表された方程式である微分方程式などを考えています。

これでどうでしょうか？

お礼

ご回答ありがとうございます。
『非線形は必ずしも解けないから』解けるか解けないか知る為、もしくは解く上での意気込みを決める為にこのような区分けをするのですね...

ありがとうございます。