線形性って何？

質問

線形性ってのは言葉で説明するとどういう意味があるのでしょうか？
数式でT（ｘ＋ｙ）＝Tx＋ｔｙのとき線形性をもつと定義されていますが、
図か何かにしたときどういう意味があるのでしょう？
物理などで用いるとき、どういうときに使えるとか例を出してもらえるとありがたいです。
ご回答、お願いします。

回答No.1

Umada · ベストアンサー

既にご理解を頂いていますように線形性は物理や数学では非常に重要な概念です。
系や問題が線形であれば
(1)問題をより簡単な問題に分解できる
(2)問題の見通しが立て易い(微分方程式でも、線形のものは非線形のものに比べてはるかに体系化・理論化が進んでいる)
などのメリットがあるため、その問題や系が線形であるかないかに関心が払われるのです。また非線形の問題でもある種の近似を摂り入れて線形の問題に帰着させることがありますが、これも非線形の問題より線形の問題の方が解き易いからです。

例はたくさんありますが、電気回路の例を挙げておきます。
図のように、抵抗やコンデンサ、コイルが入った回路があり、その中のある個所Xを流れる電流を求めたいとします。(抵抗やコンデンサ、コイルだけですからこの回路は線形です)

┌──────┐
│┷　・Ｘ　　│
│┯　　┨┠　├○A
│　─∧∧─　│　↑電圧E
│─∧∧─　　├○B
│　─ωω─　│
└──────┘

加える電圧Eが単純な直流や交流ならまだ簡単なのですが、
E=Ed+Ea sin(ωt)
という、直流と交流の重ね合わせだったら地点Xを流れる電流はどのように求めたらいいでしょうか?　根本原理に立ち返るなら、総てのコイル、抵抗、コンデンサについて
コイルの逆起電力　L×(di/dt)
コンデンサの両端に生じる電圧　C×(dV/dt)
(L: コイルのリアクタンス　i:コイルを流れる電流　C:コンデンサの容量　V:コンデンサの両端の電圧)
から連立の微分方程式を立てれば解けます。ただしそれは決して楽な作業ではありません。

ところが線形性を使えば、地点Xに流れる電流を印加電圧Eの関数I(E)として表現した場合、
I(E)=I(Ed+Ea sin(ωt))=I(Ed)+I(Ea sin(ωt))
と分解することができます。(2番目の等号のところで線形性を利用しています)
すなわち、直流成分と交流成分それぞれについて問題を独立に解き、最後に足し算をすればよいことが分かります。これなら上記のように微分方程式を逐一立てなくても解けますから簡単です。(重ね合わせの原理などと呼ばれます)
このような問題の分解は非線形の系ではできず、非線形の系を解くのは一般に煩雑なのです。

補足

重ね合わせの原理は電磁気学でいやと言うほど出てきて分かる、と言うか原理だから認めざるを得ないのですが。
性質的に線形性と重ね合わせの原理は同じようなものであると考えてもいいのですか？

回答No.6

uni050

数学が専門ではないのでうまい解答ではないですが

線形：方程式が１次の関数の和、差のみで表されるもの（変数の数は問わない）
　　　偏微分を行った時に導関数が定数で表されるもの

非線形：方程式に変数の２次以上の項を含むもの
　　　　偏微分を行った時に導関数に変数が含まれるもの

図にした時は通常、直線（平面）になるものではないでしょうか。

お礼

ちょっと、僕には理解できませんが。
ご回答ありがとうございます。

回答No.5

noname#21649

>いまいち、具体的な創造に苦しむのですが・・・・。
yを０に収縮（という言葉で良かったカシラ．ｌｉｍ ｙ→０）させれば．ｎ次元まで拡張できますけど．

＞ 図やアップレットで説明しているサイトを知りませんか？
サイトは知りませんが．制御工学（発行所不明．同名の発行所の異なる本が２-３冊あるので要注意）の先頭のあたりに書いてあったような気がします。微分積分方程式の本のはじめの頃に．１次元の定義をｎ次元に拡張する方法を数式で説明してある部分があるはずです。そのあたりを見つけてください。

お礼

ありがとうございます。
ちょっと探して見ます。

回答No.4

may-may-jp

そういえば、「制御工学」の教科書に書いてあったような気がします。
線形システムと非線形システムについてでした。

回答No.3

noname#21649

言葉では．
連続である
とか
常に微分が出来る
とか言います。
不連続点（特異点？）を考えないで住みますから．区間を区切って数式を融くということをしないで住むのです。

補足

連続であるってことがなぜ、あの式で表せているのですか？
３次元で考えると・・・・いまいち、具体的な創造に苦しむのですが・・・・。
図やアップレットで説明しているサイトを知りませんか？

回答No.2

may-may-jp

線形なシステム、非線形なシステム、という言い方がありますね。
具体的に、といわれても・・・ごめんなさい。