関数の大小の関係

質問

ただいまコーシーの積分定理を利用した実関数の積分を
勉強しているのですが、そのなかで、下記の関係が
教科書にでてきました。
なぜこのような大小関係がなりたつのでしょうか？
直感的にはこの符号は逆になるような気がするのですが？

【問題箇所】
R→∞であり、εは任意に小さく与えうる正の数である。
exp（-Rsinφ）≦1であるから
｜∫0→ε exp（-Rsinφ+iRcosφ）dφ｜＜∫0→εexp（-Rsinφ）dφ

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

絶対値の付いた積分について、一般的に
｜∫exp(-Rsinφ+iRcosφ)dφ｜
≦ ∫｜exp(-Rsinφ+iRcosφ)｜dφ
であることと、
指数法則より
｜exp(-Rsinφ+iRcosφ)｜
= ｜exp(-Rsinφ)｜・｜exp(iRcosφ)｜
≦ ｜exp(-Rsinφ)｜
とを併せると、
質問の式が出ます。

途中で必要なのは、Rcosφ が実数なので
｜exp(iRcosφ)｜ ≦ 1 が成り立つこと。
exp(-Rsinφ) ≦ 1 は、εが小さければ
確かに成り立つけれど、
その不等式には関係ありません。

お礼

わかりやすいご回答をありがとうございました。
よく理解できました。
おかげさまで遡って三角不等式まで復習できました。
誠にありがとうございました。