積分で表される関数がイメージできません＞＜

質問

公式として、d/dx*∫(a～x){f(t)}dt=f(x)

というものがありますが、これのイメージというか、この公式自体がぴんときません。この公式を使う問題は苦手です。原始関数などを使って証明も書いてあり、それを理解することも出来ますが。

個人的な公式を覚える方針として「丸暗記は大嫌いだが、導きにくいものは導き方を1度確認したうえで丸暗記する。本当にすぐ導けるもののみ暗記しない。」という感じです。三角関数で言えば、2倍角の公式などは丸暗記していますが、和積・積和は導くという感じです。

上の公式も具体的に面積などを求めるものではないので、「積分したものを微分すれば元に戻る」ということを大まかにイメージして丸暗記してよいのでしょうか。

P.S.
ちなみに混乱している原因はxとtという二つの文字が入っているからだと思います。

回答No.2

andybell · ベストアンサー

>「積分したものを微分すれば元に戻る」
高校生のうちはこれで十分だと思います。
本当はfが満たすべき仮定があるのですが、高校ででてくる関数はほとんどこの仮定を満たしています。それに、満たしていない関数でこの公式を使わせる問題に出会ったことは、私が記憶している限りありません。
ですから、「積分したものを微分すれば元に戻る」というイメージが大切であって、積分で表される関数をイメージする必要はありません。

>丸暗記してよいのでしょうか。
この公式を丸暗記して覚えるというのは、やめたほうがいいです。
よく「微分と積分が互いに逆の演算である」といわれますが、実はこの公式よって保証されているのです（もともと微分と積分は独立した概念であるので、大変画期的なことです）。
もしあなたが大学でも数学を学ぶ機会があれば、これは「微積分の基本定理」という名で再び出会うでしょう。
非常に大切な定理なのでぜひこの式が意味していることを理解して下さい。

>ちなみに混乱している原因はxとtという二つの文字が入っているからだと思います。
これは形式的な問題なので、あまり悩むところではありませんが、
以下の理由でtとxが出て来ます。

まず、右辺の式は当然xの式ですよね。
で、当然左辺もxの式としたくなりますよね。
これがまず最初に考えることだと思います。
で、定積分する上で最終的な計算は「上限と下限を代入する」という行為なので、xの式にするには積分範囲の端点はどちらかにxが含まれていなくてはなりません（だから積分区間が[a,x]となっています）。

次に、「こんなことをすると左辺はxの式にならない」というのを考えてみましょう。
それは、「f(x)をxで積分する」ことです。なぜなら、これをしてしまうと、f(x)の原始関数もxの式であるため定積分をする際、積分区間の端点にxと書くことが出来ません（xの式にxを代入するというのはおかしなことだから）。

それならば、
「xと別の文字で置き換えて、（例えばtで）積分すればいいじゃないか」
いう発想が生まれます。そうすれば∫f(t)dtはtの式となり、積分区間[a,x]で定積分したときtにx、aを代入できます。
これで、「xにxを代入する」ということを防げます。

お礼

最後の式をxで表したいので、別の文字で置き換えて、その文字について積分し、積分区間にxを入れる。この発想が当たり前かもしれませんが、分かりやすかったです。ありがとうございました。

回答No.3

kkkk2222

確かに最初は混乱します。この問題は基本で、実際の問題には、被積分関数の中に＜ｘとｔ＞が出て来ます。当方が理解した方法を書きますので理解した後は暗記して下さい。もっとも、理解出来たら当たり前に思えるので。暗記の必要もないはずです。後程＜実際の問題＞も書きます。

まず、具体的にf(t)=t^3

P(x)=∫[a,x]{t^3}dt
=(1/4)(t^4)[a,x]・・・通常[(1/4)(t^4)]（ｔはaからｘまで）と書かれる式に対応。
=(1/4)(x^4-a^4)
両辺をxで微分
P'(x)=x^3

いつの間にか元の関数と同形になっています。もちろん、tはxに変わっています。最初は、狐につままれた感はありますが、イメージで言うと＜積分して微分すれば、元に戻る＞でしょうか。

次に
f(t)の原始関数をF(t)とします。
P(x)=∫[a,x]{f(t)}dt
=F(t)[a,x]
=F(x)-F(a)
両辺をxで微分
P'(x)=f(x)
意味を考慮して
d/dx*∫[a,x]{f(t)}dt=f(x)と書きます。数回使用すると、無意識になります。

最後に＜実際の問題＞
P(x)=∫[a,x]{(x-t)cos(3t)}dtでP''(x)を求めよ。
=x∫[a,x]{(cos(3t)}dt-∫[a,x]{(t*cos(3t)}dt
P'(x)=・・・
ここでは最初の式の(x-t)cos(3t)でxが(定数!!)と見えるか、です。
ーーー

お礼

毎回のようにありがとうございます。助かります。

回答No.1

ht1914

＞上の公式も具体的に面積などを求めるものではないので

横軸をｔとして図を書いてみて下さい。
まずｆ（ｔ）をａからｘまで積分します。これは面積ですね。
ｆ（ｔ）の原始関数をＦ（ｔ）とします。
∫（ａ→ｘ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝Ｆ（ｘ）－Ｆ（ａ）
ですね。
この図でｘをｄｘだけ増やします。Ｆ（ｘ）は少し増えます。この増加分は図から分かるようにｆ（ｘ）ｄｔです。
（ｄ／ｄｘ）（Ｆ（ｘ）－Ｆ（ａ））＝ｆ（ｘ）
になります。
多分標準的な説明だと思います。

お礼

ありがとうございました。