奇関数・偶関数ってなんですか？

質問

原点対象なのが遇関数、y軸対象なのが奇関数と習いましたが、いまいち分かりません。数学が得意ではない高校生向けに、あまり難しい数学的概念などは使わないで大学受験レベルで必要な範囲を教えていただけないでしょうか。
そこまで参考書などでも大きく取り上げられてはいないです。しかし(あくまでも個人的な思いつきですが)微分してグラフを書く事などに、知っていると便利なんだとは思います。

どなたかよろしくお願いいたします。

回答No.6

connykelly · ベストアンサー

直感的に奇関数の奇は奇数の奇、偶関数の偶は偶数の偶と覚えておくと飲み込みやすいと思います。1,3,5・・・は奇数で2,4,6・・・は偶数ですね。-1の奇数乗は-1、-1の偶数乗は+1ということで、例えば
偶関数：f(-x)=f(x) ⇒y=1（←x-0),y=x^2,y=x^4,等々でこれはxの偶数乗となっています。図を描くとy軸に対して対象(線対称)となっています。
奇関数：f(-x)=-f(x)　⇒y=x,y=x^3,y=x^5,等々でこれはxの奇数乗となっています。これも図を書くと原点に対して対象(点対称)となっていることが分かります。もっとも三角関数のcosθ（cos(-θ)=cosθ：偶関数）やsinθ（sin(-θ)=-sinθ：奇関数）なんかは上の直感は上手くいかず(笑い)、偶・奇関数の定義に照らしあわす必要がありますが。。。
また、関数の中には偶でも奇でもない関数が一杯あります。例えばy=x+x^2なんかそうですね。他にもいろいろ考えられますが、ご自分で調べてみてください。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%B6%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8%E5%A5%87%E9%96%A2%E6%95%B0

回答No.7

leap_day

が～～ん
≪超簡単な不等式≫書いてる最中に一足違いで締め切られちゃってなんかもったいないのでこちらに投稿してもいいかな？（－－；）

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/s1set03.htm
図を示せないのでこちらのサイト様の図を借用させてもらいます

『AまたはB』
言い方を変えると『Aに含まれててもいいしBに含まれていても良い』ということになります
ですのでA,B両方を合わせたものになります(サイト図右側)

『AかつB』
言い方を変えると『Aに含まれているものでBにも含まれている』ということになります
ですのでAとBで共通した部分になります(サイト図左側)

サイトのように整数の集合であればこのサイトが分かりやすいかと思いますが質問者様の場合、範囲ですので＃6様の言うように数直線を書いて見るのが良いかと思います

　　┏━━ -1≦a≦0 ━━━┓
　　┃　┏━ -1/3≦a≦0 ━━┓
　─●─●────────●─
　 -1 -1/3　　　　　　　0

『-1≦a≦0または-1/3≦a≦0』
両方の範囲ということになるので『-1≦a≦0』

『-1≦a≦0かつ-1/3≦a≦0』
共通部分ということになるので『-1/3≦a≦0』

お礼

大変申し訳ありません。

親切にありがとうございます。2重に線が重なったところなどという普通の考えかたを使えばいいのですね。わかりやすかったです。

回答No.5

amber_jade

私も少し前にそこを習った高校生です。

奇関数・偶関数については
奇関数：グラフを紙に書いてみて真ん中で折って線が重ならない
偶関数：グラフを紙に書いてみて真ん中で折って線が重なる
で私は覚えました。

微分積分のときに便利なのは、計算を簡単にできるからです。
例えば
∫上2下2(x^2)dxだったら2∫上2下0(x^2)dxとして計算できるからです。
これは、偶関数の真ん中で線対称になっているという点を利用していて
「片方を出して2倍すれば同じでしょ」ということです。
逆に奇関数でしたら点対称になっているので
片方は-,片方は+になり0となります。
積分は分配できるので上の考え方を使えば、
複雑な式も楽に計算できます。

回答No.4

nikumann

y=xとかy=x^3のグラフは点対称（原点で対称）の図形になり、y=x^2やy=x^4のグラフはy軸で対称な図形になっています。したがって、原点で対称の時は奇関数でy軸で対称の時は偶関数になります。

また、x=-1、x=1の時を考えてみると、
・y=x^3（奇関数）では、x=1のときy=1、x=-1のときy=-1となり、グラフと一緒に考えると、２つの点が原点で対称になっていると思います。

・y=x^2（偶関数）では、x=1のときy=1、x=-1のときy=1となり、グラフと一緒に考えると、２つの点がy軸で対称になっていると思います。

だから、次のように言うこともできます。
・f(-x)=-f(x)をみたすf(x)は奇関数となる。
・f(-x)=f(x)をみたすf(x)は偶関数となる。

ちなみに、三角関数ではどうなるかというと、
sin[x]、tan[x]はグラフを書くと原点対称になっているので、奇関数で、
cos[x]はグラフを書くとｙ軸対称となっているので、偶関数となります。

補足

y=xとかy=x^3のグラフの具体例がわかりやすかったです。

皆様が書いてくださっていることを知っていれば高校生として十分でしょうか。難関国立を受ける人でも。

回答No.3

noname#101087

形式的な「定義」はこんなところです。

>関数 f(x) が偶関数であるとは
>　f(－x) = f(x)
>が任意の x について成立することである。
>また、関数 f(x) が奇関数であるとは
>　f(－x) = －f(x)
>が任意の x について成立することである。
----------------------------------------
(Firefox 向け)
　http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kansuu/henkan_server.cgi?target=/math/category/kansuu/index.html
(IE 向け)
　http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kansuu/index.html
>■いろいろな関数
>1.偶関数
>2.奇関数

回答No.2

kirisutegomen

間違っています
原点対象が奇関数　y軸対象が遇関数です
常にｆ(-x）＝f(x)が成り立てば偶関数
常にf(-x)=-f(x)が成り立てば奇関数

偶関数について
上記の式より　ｘが正であろうが負であろうがｙは同値
奇関数について
上記の式より　ｘが正の時ｙならばxが負の時　-ｙ
　いいでしょうか？

回答No.1

mmk2000

グラフでは。。。
ｙ軸に関して線対称のものを偶関数
原点に関して点対称のものを気関数

式では。。。
f(-x)=f(x)つまり、元の式のxのかわりに-xを代入しても式がかわらなければ偶関数
f(-x)=-f(x)つまり、元の式のｘのかわりに-xを代入したら、元の式と符号が逆になっていれば奇関数
となります。