命題に関する質問

質問

仮定が偽ならば結論は必ず真になるのはなぜですか？
これは定義ですか？
そもそも、仮定が偽の時とは、どのような時ですか？

定義を記載(勘違いを生まないために)
p⇒qにおいて pを仮定 qを結論

回答No.6

tmppassenger · ベストアンサー

一応ちょっと書いておきますが：

Pが偽の時、つまり¬Pが導出出来る時（¬PはPの否定）、Qの真偽がどうであれ（たとえQそのものは偽であっても）、P→Qは真になります。つまりは、例えば
「 (1+1=3) → (1<0) 」
のような命題は真（正しい）です。

これは、¬Pが導出出来る時、Pを仮定するというのは、¬PかつPが成り立つと仮定する、という意味なので、これは矛盾ですが、「矛盾からは何を導出しても良い」、ということにもなります。
記号であれば、PとQそれぞれの真偽はどうであれ、
( Pかつ¬P ) → Q
の形の論理式は常に真となります。
「矛盾からは何を導出しても良い」というのは、「命題論理」と言われる証明に関する「規則」を扱う中で、「矛盾の除去則」と言われる「規則」になっています（「爆発律」ともいうらしいです）

日常の場面でいうと、お父さんがこどもに「P: 明日晴れたら」Q「どっか遊びに連れて行ってやる」と約束したとき、実際次の日に雨が降ってしまった場合（¬P）、お父さんが「雨になったから遊びに連れて行けなくてごめんな」と言っても、「雨になったけど、どっか遊びに行くか」といっても、どちらにしてもお父さんは約束を破ったことにはならないわけです。
この場合、お父さんが約束を破ることになるのは、「次の日晴れたのに（Pかつ）」「遊びに連れて行かなかった(¬Q)」の場合で、これを考えると

( P→Q ) ⇔ ¬ (P かつ ¬Q)

というのも掴めてくると思います。

回答No.7

bellflaw17sai

ある命題の真偽と
その命題の対偶の真偽は
必ず一致する
ということは納得していらっしゃますか？

それを認めているならば
pならばq

の対偶はqでないならばpでない
であり

pが偽の時　pでないは真でありますので

ｐならばｑも真ということになります

回答No.5

asuncion

＞そもそも、仮定が偽の時とは、どのような時ですか？

1 + 1 = 3 ⇒ 2 + 2 = 4
のようなときです。
この命題は真ですからね。

回答No.4

asuncion

＞pが偽 qは真で p→qが真であると書いてあるのですが、これは間違いなんですか？

いいえ、合ってますよ。

回答No.3

soyandbeefmilk

アドレスから目にはしましたが、そんな煩わしいものなのでしょうか？まずもう言語として理解できないものにも思えました。仮定や結論については否定と肯定という言葉が使われる方が良さそうで、その命題の成否に対して、成立が真、非(否や不)成立が偽と表されますよね。

一体、論理学はもう大丈夫なんでしょうか？一命題には、その裏、逆、対偶(すなわち裏の逆、または逆の裏)の各命題が並立してますよね。通常、原命題の真偽が対偶命題の真偽に一致するということは対偶法として証明に利用もされますが、それは仮定と結論が属する全体(母)集合が両者同一の時という前提の下でなんですが、ベン図ですか？書けば納得できるはずですが。

その一方で、仮定に対してなされる肯定·否定が、結論に対してなされる肯定·否定を決定する、といった法則性は自分は聞いたことがありませんが。

原命題と逆命題がともに真のときが『同値』『必要十分条件』で、対偶も含めて集合の包含関係を追うことで納得出来ますが。元の裏(つまり仮定と結論の両否定)命題と逆(仮定と結論の入替え)命題は、同値ではない原(元)命題が真のときに限ってどちらも偽になります。

回答No.2

asuncion

おっとtypoが。

誤：pが偽ならばpの真偽と一致すると言っています。
正：pが偽ならばqの真偽と一致すると言っています。

補足

https://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/condition2.htm
pが偽 qは真で p→qが真であると書いてあるのですが、これは間違いなんですか？

回答No.1

asuncion

＞仮定が偽ならば結論は必ず真になる
違いますよ。
p⇒qの真偽は、
pが偽ならばpの真偽と一致すると言っています。