行列の分割に関する問題の解答をお願いします。

質問

n次正方行列Aとn次列ベクトルvに対して、(n+1)次正方行列T(A,v)を
T(A,v)=｜A v｜
　　　　 ｜O 1｜ とおいて定めるとき、次の問いに答えよ。

(1)n次正方行列A,Bとn次列ベクトルu,vに対して、
T(A,u)T(B,v)=T(C,w)
となるC,wをA,B,u,vを用いて表せ。

(2)Aが正則行列であるとき、T(A,v)も正則行列であることを示し、その逆行列T(A,v)＾-1を分割した行列の形で求めよ。

よろしくお願いします。

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回答No.2

178-tall · ベストアンサー

>まだ行列式を習っていないので、よく分かりませんでしたf(^^;

…ならば、
>Aが正則行列であるとき、T(A,v)も正則行列であることを示し、その逆行列T(A,v)＾-1を分割した行列の形で求めよ。
の順番を逆転しても「よく分かりません」か？

行列式は後回しにして、
　　B = A^(-1), v = -A^(-1)u
　とすれば、(1) の右辺は単位行列。
　つまり、
　　[A^(-1)　-A^(-1)u ; 0　1] 　　　…(2)
　は T(A,u) の逆行列。
を導いたあと、A が正則なら A^(-1) が存在、つまり T(A,u) の逆行列が存在。
…と、T(A,v)も正則行列であることがいえますけど。

お礼

なるほど、確かにそうなりますね。
対応ありがとうございました。

回答No.1

178-tall

T(A,u) = [A　u ; 0　1], T(B,v) = [B　v ; 0　1] と略記すると、
　　T(A,u)*T(B,v) = [AB　Av+u, 0　1]　　…(1)

A が正則なら、det[T(A,u)] = det[A] ≠0 だから、T(A,u) も正則。
　　B = A^(-1), v = -A^(-1)u
とすれば、(1) の右辺は単位行列。
つまり、
　　[A^(-1)　-A^(-1)u ; 0　1] 　　　…(2)
は T(A,u) の逆行列。

お礼

回答ありがとうございました。
まだ行列式を習っていないので、よく分かりませんでしたf(^^;
行列式を使わない回答もできたらお願いしますm(__)m