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三角関数の証明問題について
「nを自然数とする。sinθ≠0のとき、次の等式を証明せよ。 Σ(from k=1 to n)sin(2kθ-θ)=(sin^2 nθ)/sinθ」という問題です。 注) sin^2 nθは(sin nθ)^2のことです。わかりにくくてすいません。 そこで、第一手目の話なんですが、何に注目して、どう見通しを立てればいいのでしょうか？私はsin(2kθ-θ)を展開しようと思ったのですが、解けませんでした。なぜダメなのでしょうか？模範解答は持っているので、第一手と見通しについてお話していただければ幸いです。よろしくおねがいします。
- super_mario_
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- 数学・算数
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数学的帰納法はいかが？ Σ(from k=1 to n+1)sin(2kθ-θ) =Σ(from k=1 to n)sin(2kθ-θ) + sin(2n+1)Θと書けることに注目。 ここで帰納法のやり方で =(sin^2 nΘ)/sinΘ + sin(2n+1)Θ として、この右辺を、(sin^2 (n+1)Θ)/sinΘ と等しいと持っていこうとしてみては？ 具体的には sinα sinβ = (-1/2)(cos(α+β)-cos(α-β))だから (sin^2 nΘ) + sin(2n+1)Θ sinΘ =(-1/2)(cos2nΘ-1) + (-1/2)(cos(2n+2)Θ-cos2nΘ) =(-1/2)(cos2(n+1)Θ-1) =sin^2((n+1)Θ)（終） これなら、高校２年生程度なのではないでしょうか？（少なくとも昔の課程でいう「基礎解析」）の範囲なので、文系でも数学を本気でやる必要があるのならば、知っているべき内容でしょう。 こういう、「Σ(i=1～n)（iの式）=なんちゃら」という式の証明では、帰納法の考えは一般的に使えそうな内容と思いますよ。
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- KaitoTVGAMEKOZOU
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あれ？まだ回答がついておらんぞ。ということは私がやるんですか？ 見通しを立て方ですか。私はシグマをはずしていろいろ考えて、「sin(2kθ-θ)を展開しようと思った」までは同じ試行錯誤を辿ったと思います。 さて、 Σ(from k=1 to n)sin(2kθ-θ) ＝cosθΣ(from k=1 to n)sin(2kθ)－sinθΣ(from k=1 to n)cos(2kθ) …（☆） すると、あとは、Σ(from k=1 to n)sin(2kθ)、Σ(from k=1 to n)cos(2kθ)を求めればよいというのがわかるでしょう。そしてここでつまづかれたかと思います。それはたぶん、、(from k=1 to n)sin(2kθ)、Σ(from k=1 to n)cos(2kθ)を単独で求めようとしたのではありませんか？ひょっとすると、その方法でも求められるかも知れませんが、私はやりたくなかった。ここで教科書レベルの知識（公式）を使ってやるんですが、その前に、Σ(from k=1 to n)sin(2kθ)、Σ(from k=1 to n)cos(2kθ)を級数の形に表してみましょう。 Σ(from k=1 to n)sin(2kθ)＝sin２θ＋sin４θ＋…＋sin２ｋθ＋…＋sin２ｎθ Σ(from k=1 to n)cos(2kθ)＝cos２θ＋cos４θ＋…＋cos２ｋθ＋…＋cos２ｎθ それぞれの式の右辺をご覧になってください。何かお気づきになりませんか？文系だから複素数はやっていても、その利用を考えたことはないでしょう。これは無理からぬことです。理系だって解けない人はいるだろうから。だから、これからやることは「ええええええーーーーー！？そんなことが出来るのーーーーー？」という気持ちで読んでください。 ド・モアブルの定理、（cosθ＋isinθ)^n＝cosｎθ＋ｉsinｎθより、 Σ(from k=1 to n)(cos2kθ＋ｉsin2kθ) ＝Σ(from k=1 to n)（cosθ＋isinθ)^2k ｐ＝cosθ＋isinθ と置く。{ハイレベルな理系はNO1の方がおっしゃっているようにｅ^iθ＝cosθ＋isinθ ，(iは虚数単位)と置いて考えてみよう} 与式＝Σ(from k=1 to n)ｐ^2k ＝ｐ^2＋ｐ^4＋…＋ｐ^2k＋…＋ｐ^2n ＝ｐ^2(1－ｐ^2n)／(１－ｐ^2) （∵等比数列の和の公式を使った。この公式は導けなくては使えないだろう） このあとは、ｐ＝cosθ＋isinθに戻して計算し、実部と虚部にわける。そうすれば、複素数の相等条件より、 Σ(from k=1 to n)cos2kθ＝実部 Σ(from k=1 to n)sin2kθ＝虚部 がいえる。そして最終的に☆式に代入して終わり。 ＜解説＞ 級数の和、あるい極限を求める問題で、サイン、コサインが入っている問題は、ド・モアブルの定理を用いないと解決出来ないことがある。しかし、大半の高校生は、数Ａの問題なら、数Ａの知識だけを使って解く。数Ｂなら、数Ｂの知識だけを使って解くという”発想”に陥りがちである。こういう考え方だと、複素数に等比数列の公式を使っていいの？などという質問が当然出てくる。教科書をきちんと勉強していればぜんぜんＯＫだということがわかるが、初心者は気づかないものだ。だいたい、受験の問題は、数１２３ＡＢＣなどと分けていることは、センターをのぞいてほとんどない。一部の良心的？な大学ならそういうこともするだろうが（マークシートで、誘導型）、つまらない割りに、計算が大変だ。しかも、誘導に気がつかないと０点である。これを乗り越えるため、分野にとらわれない勉強をする必要がある。その対策本として、大学への数学・数学ショートプログラムという本を紹介しよう。この本は高２までの知識で書かれているので、文系でもだいじょうぶだ。理系でもここから１つ学んで、１０は応用が出来ることを確信している。これが終わったら、あとは解法の探求だのを使って、細部を詰めていけばよい。最後に、最近の理系の主流は数３＋数Ａや、数３＋数Ｂです。なぜかというと、こういう構成で問題を作ると、多くの受験生を落とし、かつしっかり勉強している学生を採ることが出来るからです。このことは時代背景を交えて話が長くなってしまうので、割愛させていただきます。興味があったら質問してください。 追伸 魁！男塾で、最後に男塾と風雲羅漢塾が対決する話がありましたが、その智力の勝負の数学の問題の５番は、数３の極限と、数Ａの級数の和の問題でした。これも複素数を使って簡単に解ける。さすがは、これからの日本の舵取りを育成するという学び屋である。数学の問題ひとつとってみても、この２つの塾の理念が見て取れる。もっとも、栗本の解は正解と合っているとしているが、実は違い、正しい答えは５／１９なのだが、そんな細かいつっこみは、江田島平八と熊田金蔵が旧帝大を首席で卒業し、金時計を２つにわかちあったということを考慮にいれればつまらないことだ。単に計算ミスだろう。しかし、栗本が間違うのはどうかのう！？
お礼
こんにちは！まさに、「ええええええーーーーー！？そんなことが出来るのーーーーー？」状態ですね（笑）。複素数を使うとは思いつきませんでした。ですが、かなりおもしろかったです。たまにこういう解答を見ると数学の奥深さを感じてもっとがんばらなきゃという気持ちになります。どうもありがとうございました。 男塾に出てくる人って頭も良かったんですね。腕力だけかと思ってました。すいません＞KaitoTVGAMEKOZOUさん(^^)
- nubou
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オイラーの式によればｓｉｎやｃｏｓは指数関数と同じように扱えるようになるのですよ だからｓｉｎやｃｏｓの中がｎの一次式になっていれば等比数列の項だということになます そうするとその和は単なる等比数列の和なのです しかし文系ではオイラーをやらないのだったら仕方がないですね もう少し進んで勉強すれば数学がより簡単になるのだけれどね 例えば鶴亀算と一次方程式の関係のように 私はこの問題を見て直ちにオイラーが頭に浮かびました オイラーを知っている人はだいたいそうでしょう 次にオイラーを知らない人に説明するにはどうするかを考え 三角関数の積を和（差）に直す公式を思い浮かべました ばらばらにするのは最終手段です まず式が簡単なままで何とかしようとするべきです 加法定理だとぐじゃぐじゃになりそうだったので それについては本能的に後回しに考えるのです この問題は解いていたかもしれませんが 試験に出ていたとしても無意識に回答を書き始める程度の問題なので覚えていません オイラーを知っている人にとっては問題にすらなりませんから解いてない可能性の方が高いでしょう しかし文系といえどもこれからは数学ができなければやっていけないのではないでしょうか 新聞で出ていたそうですが数学ができる文系の人は数学ができない文系の人より平均年収がかなり高いそうですよ
お礼
こんにちは。お返事どうもありがとうございます！ ＞しかし文系ではオイラーをやらないのだったら仕方がないですね もう少し進んで勉強すれば数学がより簡単になるのだけれどね 例えば鶴亀算と一次方程式の関係のように 鶴亀算と一次方程式ですか。そう考えると魅力的ですね。オイラーのところ見てみたのですが、よくわかりませんでした。やっぱり数学音痴にはちょっと難しかったです。eとかの理解も必要ですね。 ＞この問題は解いていたかもしれませんが試験に出ていたとしても無意識に回答を書き始める程度の問題なので覚えていませんオイラーを知っている人にとっては問題にすらなりませんから解いてない可能性の方が高いでしょう そうですか。うらやましいです。
- nubou
- ベストアンサー率22% (116/506)
右辺をみるとｓｉｎ（θ）で割っているので 両辺にｓｉｎ（θ）でかけたものの左辺に 積を和にする公式を適用する なおこのような問題は右辺の式が提供されていなくても オイラーの式を使って等比数列の和の公式で一発で求まります オイラーの式はまだ習っていないのかな？
お礼
nubouさんお返事どうもありがとうございます。 ＞右辺をみるとｓｉｎ（θ）で割っているので 両辺にｓｉｎ（θ）でかけたものの左辺に 積を和にする公式を適用する 初めに分数に目がいかれたんですね。私は、加法定理に目がいきましたが・・。nubouさんはこの問題の類題を依然解かれたことがおありでしょうか？以前の類題を解かれた経験からそのような解法が浮かぶのですか？それと、「積を和にする公式を適用する」必然性は何でしょうか？ オイラーって理系範囲ですよね？私は文系なのですが、勉強しておいた方がいいですか？ 知識は多い方がいいと思って。
お礼
こんにちは！帰納法ですか。なるほど、先生は三角比で解くことを身につけるのが狙いだと言ってましたが、やはり、式から見てつまったら帰納法を考えてみるのは自然ですね。kony0さんの解答を見ながらやってみましたが、かなり帰納法のほうも難しく感じました。三角関数っていっぱい公式あってどれを使って良いのか迷いますね。どうもありがとうございました。