中心極限定理について

質問

中心極限定理で理解できないところがあります。
多分、何か勘違いをしているところがあると思うので、分かる方は教えてください。

平均値 μ*，分散 σ2* をもつ，任意の分布に従う乱数列 x1，x2， … ，xnがあるとき，その平均値

ave(xn) = (x1+X2+・・・+xn)/n

の確率分布は，n が大きくなるとき，平均値 μ*，分散 σ2* / n である正規分布に収束する。

　すなわち，

(ave(xn) - μ*)/(σ*/√n)

は，n が大きいとき，平均値 0，分散 1 の標準正規分布に従うとみなしてよい。

はどうやって証明するのでしょうか？

また、１２個の乱数rand()を発生させた場合、分散は12*1/12=1になるようですが、これは中心極限定理から分散がσ2/nの正規分布に近づくという結果（こちらは1/12を12で割っている）に矛盾しているように思うのですが、どこが勘違いしているのでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.1

takurinta · ベストアンサー

V(a*X) = a^2 * V(X)
X, Yが独立のときにV(X+Y) = V(X) + V(Y)
などの証明は終わっているものとします。

ave(Xn) = (1/n)*X1 + (1/n)*X2 +・・・+ (1/n)*Xn
なので、ave(Xn)の分散は
(1/n)^2 * V(X1) + (1/n)^2*V(X2) +...+ (1/n)^2*V(Xn)
= (1/n)^2 * σ^2 + (1/n)^2*σ^2 +...+ (1/n)^2*σ^2
=(1/n) * σ^2 = σ^2 / n

(X - μ) / σ で標準化できることも、期待値の線形性と、それから導かれる上に示した分散の性質とを使うと理解できると思います。

rand() については、Xそのものなので分散は1になるけれど、randで発生させた乱数の平均を取ったもの、というのをいくつか作ってみれば上に示したものに合っていることがわかると思います。たとえば、rand() 100個組を100組作ってそれぞれの組で平均を取り、出来上がった100個の平均値についてその平均や分散を調べてみると良いと思います。

お礼

平均値での平均と分散、合計値での平均と分散がごっちゃになっていたようです。
ありがとうございました。