無限級数の変形の仕方

質問

二つの級数Σ[ｎ＝1to∞］Ａｎ、Σ［ｎ＝１ｔｏ∞］ｎＡｎが、それぞれ和Ａ，Ｂを持つとき、Σ［ｎ＝１ｔｏ∞］ｎ（Ａｎ＋【Ａｎ＋１】）をＡ、Ｂで表せ。注：【Ａｎ＋１】はＡｎよりひとつ多い数列とする。ｎ＋１の部分が一緒に小さくできませんでした。

Σ［ｎ＝１ｔｏＮ］ｎ（Ａｎ+【Ａｎ＋１】）からΣ（ｎ＝１ｔｏＮ）ｎＡｎ＋Σ（ｎ＝１ｔｏＮ＋１）ｎＡｎーΣ（ｎ＝１ｔｏＮ+１）Ａｎの変形がよくわかりません。教えてください。

回答No.4

lick6

条件から
lim[n→∞] Σ[1,n] Ak = A
lim[n→∞] Σ[1,n] kAk = B
と与えられているのでこの形に持っていきたいというのが回答のねらいでしょう。
Σ[1,n] k*(Ak + A(k+1))
= Σ[1,n] {kAk + kA(k+1)}
= Σ[1,n] kAk + Σ[1,n] kA(k+1)
ここで
Σ[1,n] kA(k+1) のシグマの範囲を[1,n]から[1,n+1]にすることで Ak に直そうとしているのはいいですよね。
このとき
Σ[1,n] kA(k+1) = 1A2 + 2A3 + 3A4 + … + (n-1)An + nA(n+1)
Σ[1,n+1] kAk = 1A1 + 2A2 + 3A3 + … + nAn + (n+1)A(n+1)
というのを見比べてみると A1 + A2 + A3 + … + An + A(n+1) 余分にでてきていますね。
ですから
Σ[1,n+1] Ak を引いてやっているわけです。

回答No.3

rabbit_cat

これ、絶対収束じゃないと必ずしも言えないような。

回答No.2

Mr_Holland

この式変形は有限級数に置き換えなくても直接、行うことができます。
　　[n=1→∞]Σn{A_n+A_(n+1)}
　＝[n=1→∞]ΣnA_n＋[n=1→∞]ΣnA_(n+1)
　＝[n=1→∞]ΣnA_n＋[n=1→∞]Σ(n+1)A_(n+1)－[n=1→∞]ΣA_(n+1)　　・・・・・・☆

　ところで、第2項の[n=1→∞]Σ(n+1)A_(n+1)は次のように変形できます。
　　[n=1→∞]Σ(n+1)A_(n+1)
　＝[n=2→∞]ΣnA_n
　＝[n=1→∞]ΣnA_n　－1・A_1
　＝[n=1→∞]ΣnA_n　－A_1

　同様に、式☆の第3項の[n=1→∞]ΣA_(n+1)も次のように変形できます。
　　[n=1→∞]ΣA_(n+1)
　＝[n=2→∞]ΣA_n
　＝[n=1→∞]ΣA_n　－A_1

　したがって、式☆は次のようになります。
　＝[n=1→∞]ΣnA_n＋｛[n=1→∞]ΣnA_n－A_1｝－｛[n=1→∞]ΣA_n－A_1｝
　＝[n=1→∞]ΣnA_n＋[n=1→∞]ΣnA_n－[n=1→∞]ΣA_n
　＝2×[n=1→∞]ΣnA_n－[n=1→∞]ΣA_n
　＝2B-A

　ちなみに、Nまでの有限級数の式変形も上記と同じ考えて行うことができます。

回答No.1

killer_7

Σ_{n=1 to ∞} n(A_n+A_{n+1})
= Σ_{n=1 to ∞} n A_n + Σ_{n=1 to ∞} n A_{n+1}
= B + Σ_{n=1 to ∞} n A_{n+1}
だから，実質，Σ_{n=1 to ∞} n A_{n+1}をA, Bで表せれば十分で，解答では
Σ_{n=1 to N} n A_{n+1} = Σ_{n=1 to N+1} n A_n - Σ_{n=1 to N+1} A_n
が成り立つと言っているのですね．

まず，この変形が正しいことは，実際に書き出してみれば明らか．
Σ_{n=1 to N+1} n A_n　 = A_1 + 2A_2 + 3A_3 + ・・・ + (N+1)A_{N+1}
Σ_{n=1 to N+1} A_n 　　= A_1 +　A_2 +　A_3 + ・・・ +　　　A_{N+1}
と書いて，両辺を引き算すると，右辺は
A_2 + 2A_3 + 3A_4 + ・・・ + NA_{N+1}
になる．これは，
Σ_{n=1 to N} n A_{n+1}
です．
まずこのことを確認しましょう．

つぎに，Σ_{n=1 to N} n A_{n+1}からA, Bで表せるように変形することを考えます．
添え字と係数を揃えれば（Σk A_kのようにすれば）よさそうだから，
Σ_{n=1 to N} n A_{n+1} = Σ_{n=1 to N} (n+1)A_{n+1} - Σ_{n=1 to N} A_{n+1}
と（無理やり）変形する．
各項とも，A_2から始まる和だから，このままではA, Bで表せないが，
たりないA_1を両方に加える，つまり，
Σ_{n=1 to N} (n+1)A_{n+1} - Σ_{n=1 to N} A_{n+1}
= (A_1 + Σ_{n=1 to N} (n+1)A_{n+1}) - (A_1 + Σ_{n=1 to N} A_{n+1})
としてみると，A_1は1 A_1でもあることから，
A_1 + Σ_{n=1 to N} (n+1)A_{n+1} = Σ_{n=0 to N} (n+1)A_{n+1} = Σ_{n=1 to N+1} n A_n，
A_1 + Σ_{n=1 to N} A_{n+1} = Σ_{n=0 to N} A_{n+1} = Σ_{n=1 to N+1} A_n
を得る．したがって，
Σ_{n=1 to N} n A_{n+1} = Σ_{n=1 to N+1} n A_n - Σ_{n=1 to N+1} A_n
である．