虚数の計算について教えてください。

質問

1=√{(-1)(-1)}=√(-1)√(-1)=i*i=-1

というのは、いったいどの時点でおかしくなっているのですか？
一人で考えていてもわからないので
教えてください。

回答No.1

hinebot · ベストアンサー

恐らく、
√{(-1)(-1)}=√(-1)√(-1)
の等号でしょう。
√(ab)＝√a*√b は、a≧0,b≧0の場合しか成り立たないと思います。

お礼

ご回答ありがとうございました！！
「√(ab)＝√a*√b は、a≧0,b≧0の場合しか成り立たない」
という定義みたいなもの、をしりませんでした。
もっと数学について基礎を勉強しないといけないのかもしれません(>_<)
ひとりで考えていると考えるだけ虚数って・・・うぅっ
ってなってくるんです、
ありがとうございました。

回答No.6

nubou

複素数の定義（ちょっとおおざっぱ）：

Ｃ≡｛（ｘ，ｙ）｜ｘは実数でありｙは実数である｝とする
ａ１，ａ２，ｂ１，ｂ２をそれぞれ実数としてａ≡（ａ１，ａ２）としｂ≡（ｂ１，ｂ２）としたとき
ａ＋ｂ≡（ａ１＋ｂ１，ａ２＋ｂ２）とする
ａ１，ａ２をそれぞれ実数としてａ≡（ａ１，ａ２）としたとき
－ａ≡（－ａ１，－ａ２）とする
ａ∈Ｃとしｂ∈Ｃとしたとき
ａ－ｂ≡ａ＋（－ｂ）とする

ａ１，ａ２，ｂ１，ｂ２をそれぞれ実数としてａ≡（ａ１，ａ２）としｂ≡（ｂ１，ｂ２）としたとき
ａ・ｂ≡（ａ１・ｂ１－ａ２・ｂ２，ａ１・ｂ２＋ａ２・ｂ１）とする
ａ１，ａ２をａ１＾２＋ａ２＾２≠０である２つの実数としてａ≡（ａ１，ａ２）としたとき
１／ａ≡（ａ１／（ａ１＾２＋ａ２＾２），－ａ２／（ａ１＾２＋ａ２＾２））とする
ａ∈Ｃとしｂ∈Ｃとしｂ≠（０，０）としたとき
ａ／ｂ≡ａ＊（１／ｂ）とする

ｉ≡（０，１）とする
ａを実数としたとき（ａ，０）をａと表記する
ａを実数としたときａと（ａ，０）を同一視する
（実数の定義で有理数と有理数の切断を同一視したように）

Ｃの元を複素数と呼ぶ

定義により導かれること：
ａ１，ａ２をそれぞれ実数としてａ≡（ａ１，ａ２）としたとき
（ａ１，ａ２）＝（ａ１，０）＋（ａ２，０）・（０，１）であるから
（ａ１，ａ２）＝ａ１＋ａ２・ｉである
ｉ＾２＝（０，１）・（０，１）＝（－１，０）＝－１

ルーチンワークなので間違っていたら御免です

複素数が定義されていない時点でｘ＾２＋１は常に正だから
「ｘ＾２＋１＝０を満たすｘをｉとする」というのは定義になっていません

お礼

あっっ！！３度のご回答ありがとうございます！！！
「複素数の定義」というものをもっと自分で勉強するべきでした・・・
本当にありがとうございました。
解りましたヽ(^o^)丿
今度人に聞かれたら教えれると思います！！
数学って楽しいですよね！！

回答No.5

mozniac

hinebotさん、mickel131さんの言うとおり、
>√(ab)＝√a*√b は、a≧0,b≧0の場合しか成り立たない
>√{(-1)(-1)}と√(-1)√(-1)を等しいとしたところ
が、質問の答えですね。

他の議論がずいぶん書いてあるので、ちょっと。

iの定義は、
i^2=-1
です。

で、これをiについての方程式として考えると、i=√(-1)または-√(-1)となりますが、便宜上√(-1)をiと書くことにするのです。

ごしゃごしゃしてますか？ゆっくり・じっくり考えてみてくださいね。

お礼

ご丁寧に解りやすくまとめていただいて
ありがとうございました！！
もう大丈夫です、多分(^_^;)
本当にありがとうございました！！

回答No.4

nubou

ダイレクトな答えでなかったのでもう一度回答します
複素数の範囲で考えると
「1=√{(-1)(-1)}」は１＝±１を示し
「√{(-1)(-1)}=√(-1)√(-1)」は±１＝｛－ｉ，ｉ｝×｛－ｉ，ｉ｝を示し
「√(-1)√(-1)=i*i」は｛－ｉ，ｉ｝×｛－ｉ，ｉ｝＝－１を示し
「i*i=-1」だけは正しいのです

なお√（－１）≡ｉは子供だましであって定義にはなりません
複素数の定義はあくまでも２つの実数の組として定義しなければなりません
その定義によって√（－１）＝±ｉです

お礼

２度もご回答ありがとうございました。
先の回答を見て・・・(>_<)？？
って、ちょっとよくわからなかったのですが
補足あってよかったです(^O^)ホッ
√（－１）＝±ｉ
が定義であったのですね！！
で、逆は定義ではないってことなんですね！！

回答No.3

nubou

実は√（１）は複素数の範囲で考えると±１なのです
従って√（１）＝－１は一理あるのです
ａが複素数のとき√（ａ）はｚ＾２＝ａを満たすｚのことです
ａ＝１であればｚ＾２＝１であるから√（ａ）＝ｚ＝±１ですね
ところがａが０以上の実数の時だけ慣例的に√（ａ）を０以上の実数とするのです
√（ｉ）はどうでしょうか？
ｉ＝ｚ＾２からｚを求めるとｚ＝±（１＋ｉ）／√（２）ですが
（１＋ｉ）／√（２）と－（１＋ｉ）／√（２）を区別する方法はありません
従ってこの場合両方とも√（ｉ）です
形式的に±が付いているから＋のほうだけ取れというのは無理があります
√（－ｉ）はどうでしょうか？
－ｉ＝ｚ＾２からｚをもとめるとｚ＝±（１－ｉ）／√（２）ですが
（１－ｉ）／√（２）と（ｉ－１）／√（２）を区別する方法はありません
従ってこの場合両方とも√（－ｉ）です

この辺は複素関数論からすれば当たり前のことですけどね

回答No.2

mickel131

hinebotさんの言われるとおりです。
√(-1)をiと書きますから、
√(-1)√(-1)=i*i
に間違いはありません。
また、i*i＝－１
もiの定義ですから、間違いはありません。
一方、（－１）（－１）＝１
ですから、この両辺のルートを採って、
　　　　√{(-1)(-1)}=√１
は間違いありません。
また、√１は１です。
以上から、
１＝√１＝√{(-1)(-1)}
と、
√(-1)√(-1)=i*i＝－１
には間違いがないわけです。
間違いは、
√{(-1)(-1)}と√(-1)√(-1)を等しいとしたところです。

お礼

すごいっ！！
消去法ですね！！
そういうふうに考えるのもいいですね！！
ご回答ありがとうございました。