虚数の虚数乗は実数？？

質問

あるサイトを見たら (i)^(-i)=e^πという式が出ていました．もしこれが私の写し間違いでないとすれば、この公式を理解する人はどんなことを想像してこの公式の意味を理解するのでしょうか。何かうまい秘訣のようなものはあるのでしょうか？なるべくわかりやすく教えてください．

回答No.3

ency · ベストアンサー

No2 の ency です。
誤りがありましたので訂正します。

[誤]
e^(iπ) = 1
⇒ e^π = 1^(-i)

[正]
e^(iπ) = -1
⇒ e^π = (-1)^(-i)

ですね。

# そもそも、1 は何乗しても 1 ですよね。。。

でも、ここまでくると、直感的な説明は難しいと思います。

--------------------------------------------------------
(参考)
Google に電卓機能があるようです。
Web 上でこんな難しい計算ができるとは、ちょっと驚きでした。
なお、参考URL は Google 電卓機能の解説ページです。

e^(π/2) = 4.81047738
http://www.google.com/search?q=e%5E%28pi%2F2%29

i^(-i) = 4.81047738
http://www.google.com/search?q=i%5E%28-i%29

e^(π) = 23.1406926
http://www.google.com/search?q=e%5E%28pi%29

(-1)^(-i) = 23.1406926
http://www.google.com/search?q=%28-1%29%5E%28-i%29

参考URL：

http://www.google.com/intl/ja/help/features.html#calculator

お礼

直感というのは難しいということですね．これから勉強させていただきます．

回答No.5

ryou0607

複素数平面というものをご存知ですか？
見たことがなければ、一度見てみると良いと思います。
４番さんの説明がわかりやすくなります。
東西南北の方位に向かって、
東へ１キロ進んだ点が１
北へ１キロ進んだ点がｉ
西へ１キロ進んだ点が-１
南へ１キロ進んだ点が-ｉ
と考えるようなものです。

１の点に居るときに、－１をかけたら（方向を持つ距離"１"に-１をかけたら）１８０°回転して-１の点のところへ行きます。
１にいるときにｉをかけたときは、９０°回転してｉの点に動きますね。
そういうことです。
数字につく符号"+","-","i","-i"は、それぞれ二次元的な角度を表しているのです。

お礼

ありがとうございます。右辺の意味もわからないのですが、左辺の虚数単位の虚数べきの意味もわからないので困っているわけです．

回答No.4

keiryu

直接的な解答ではないのですが・・・・。
ｉを虚数というへんてこりんな名前－虚というのは嘘っぱちということですから－で理解すると、虚数の虚数乗が実数になることに、違和感が出てきちゃう。
　虚数のｉってのは、９０°回転するって言う意味がある。
　だって、-1をかけるって事は、180°回転させてるでしょ。数直線で考えてごらん。1に-1をかけたら180°回転して負のほうに行っちゃうでしょ。-1というのは、ｉ×ｉだよね。かけることは回転と考えれば、90°まわし、さらに90°まわせば180°まわしたことになる。てなわけで、ｉというのは、虚ろな数ではなく、回転を表すもの。
　この延長で行くと、60°って数は、1/2+√3/2ｉてな数で表せるよね。
　こんなこんな考えていくと、虚数ってのは、cos+ｉsinθとかいうあやしげな数の形式で表せんのよ。こんなもんをオイラーの公式は使うの。
　そんでもって、えんやらやーと計算すると、以下の人が書いてるようなものなる。
　結論。ｉなる数を虚ろでうそ臭い数と思わぬこと。
　270度回転などといわず、-ｉをかけちゃうほうが合理的でしょ。だって、-ｉは、ｉ×ｉ×ｉのことで、これは、90×90×90で、270°と一緒のことを言ってるのよ。虚数の掛け算は、回転の別表現のこと。これらを使って、電気回路は計算されます。そう、ｉの計算は、電気をはじめとして、物理には欠かせない道具。決してね、虚ろな数、虚数ではなく、現実性のある数なんです。
　駄文になりました。

お礼

どうもご丁寧にありがとうございます．回転という幾何学的なものと数という代数的（？）なものとを結びつけることが出来ないのでもう少し勉強してみたいと思います。

回答No.2

ency

No1 hitomura さんに補足します。

e^(iπ/2) = i
⇒ e^(π/2) = i^(-i)

で良いと思うのですが。。。

e^(iπ) = 1
⇒ e^π = 1^(-i)

だと思いますし。。。

# いずれも、オイラーの公式から出てきた式ですけど。

って、こんなに自信なさげじゃ、補足にもなっていないか(？)

回答No.1

hitomura

数学にはオイラーの公式というものがあります。
これは、
　e^(iθ)=cosθ+i×sinθ
という内容です。
この式にθ=π/2を代入すると、
　e^(i×π/2)=i
となります。さらに、両辺を(-i)乗すると、
　右辺=i^(-i)
　左辺=(e^(i×π/2))^(-i)
　　　=e^((i×π/2)×(-i))
　　　=e^(-1×(i)^2×(π/2))
　　　=e^(π/2)
となり、i^(-i)=e^(π/2)に…

…あれ？
すみません、計算が合わないので「自信なし」にします(^^;

お礼

オイラーの公式がわからないとこちらもわからないのかということでしょうか。どうもありがとうございました。