分数の積分について

質問

∫[0→1]∫[0→1] (x-y)/(x+y)^2 dy dx
を解こうと考えているのですが、
この積分はx=r*cosθ y=r*sinθと置換し、ヤコビアンrをかけて積分すればよいのでしょうか？
それとも、(x-y)/(x+y)^2をそのまま(x-y)*(x+y)^(-2)として解けばよいのでしょうか？
アドバイスよろしくおねがいします。

回答No.2

Mr_Holland

＃１です。
　お礼を拝見しました。

＞x/(x+y)^2-y/(x+y)^2がx/t^(-2)－(t-x)/t^(-2)に置き換わるということでいいんですよね？

そうです。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

Mr_Holland

この重積分はｘとｙの対称性について考えれば、答えはすぐに「０」だということが分かります。
　　∫[0→1]∫[0→1] (x-y)/(x+y)^2 dy dx
　＝∫[0→1]∫[0→1] {x/(x+y)^2-y/(x+y)^2} dy dx
　＝∫[0→1]∫[0→1] x/(x+y)^2 dy dx －∫[0→1]∫[0→1]y/(x+y)^2 dy dx
　＝∫[0→1]∫[0→1] x/(x+y)^2 dy dx －∫[0→1]∫[0→1]x/(y+x)^2 dx dy　　・・・・第2項のxとyを置き換える。
　＝∫[0→1]∫[0→1] x/(x+y)^2 dy dx －∫[0→1]∫[0→1] x/(x+y)^2 dy dx 　・・・・xとyは独立なので。
　＝０

　また、対称性を利用せず解く場合は、x+y＝tと置いて、被積分関数をx/t^(-2)－(t-x)/t^(-2)に変形して、log(x)の不定積分x・log(x)-xを利用すればよいでしょう。

お礼

ありがとうございます。
対象性を利用せずに解く場合x+y=tと置いてますが、
x/(x+y)^2-y/(x+y)^2が
x/t^(-2)－(t-x)/t^(-2)に置き換わるということでいいんですよね？