sinに関連して

質問

sin(n)（nは自然数）は[-1,1]にどのように分布するか？
あるいは、単位円周上に点を弧度を１ずつ増やしてとっていくときに
これらの点は単位円周上にどのように分布するか？
という問題なのですが・・・

確か、昔何かで稠密だというのを見たような、かすかな記憶が
あるのですが、考えたり調べても良くわかりません・・・

回答No.3

age_momo · ベストアンサー

私自身は海外にいるため、実際に確認することは出来ないのですが、
ワイルの定理は朝倉書店のフーリエ解析大全に証明があるようです。

http://www.onsenfan.com/bbs/index.htm?uid=pzkn&mode=disp&num=159&sw=1
http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Lounge/1030/open/openproblem.html

お礼

ふたたびありがとうございます。
フーリエ解析大全は大変詳しい本のようなので、
調べてみようと思います。
無理数のn倍の小数部分は[0,1]に一様に分布するが、
n乗の場合は解決されていないなど、実に基本的（？）
なことも分かっていないんだなと、驚きです。
しかし、無理数のn倍の小数部分で0に収束する部分列が
作れるなんて非常に不思議です。
また、何かの機会にお願いします。

回答No.2

age_momo

＞単位円周上に点を弧度を１ずつ増やしてとっていくときに
＞これらの点は単位円周上にどのように分布するか？

逆に円周1の円を考えると円周において1/(2π)ずつ増えることになります。
1/(2π)は無理数ですから、この増加

θ[t+1]=θ[t]+1/(2π)　(mod1)

の稠密性はヤコビの定理、
一様性はワイルの定理で保証されます。
この稠密性と一様性は2π倍しても変わりませんから、
単位円上での存在は稠密かつ一様となると思います。
ただし、これを

sin(n)

とした時はsinの連続性から稠密性は残るでしょうが、一様性は無くなると思います。

補足

どうもありがとうございます。
ネットで調べてみたら、確かにヤコビの定理で稠密性が、
ワイルの定理で一様性が保証されるとの記述があるのを
見つけましたが、証明は書いてませんでした。
サイトか本などで、証明が載っているのをご存知でしょうか？
数論的な幾何の本も探してみようと思っているのですが・・・

回答No.1

grothendieck

稠密であることを証明するのはsin(x)の連続性や実数の中で有理数が稠密であることを使えば簡単だと思います