三角関数の計算

質問

単位円を考えます。
（１）ある適当な位相（θ0）をとります。
（２）そこから、円周をｎ等分します。
（３）ｎ等分された各位相での正弦（ｓｉｎ）を総和します。
（４）その総和がゼロになることを証明したいのです。
図からの対称性ではなく、数式から導くことができますか？

回答No.2

noname#152422 · ベストアンサー

こういうこと？

z=∑(k=0～n-1)exp(2πik/n+iθ)

とおいてzの値を計算してみる。
ただし、exp(w)=e^w(wは複素数)

iθの部分はkに関係ないので前に出せるから、
z=exp(iθ)∑(k=0～n-1)exp(2πik/n)

和の部分を等比数列とみて、
z=exp(iθ)(1-exp(2πin/n))/(1-exp(2πi/n))

exp(2πi)=1だから、
z=exp(iθ)(1-1)/(1-exp(2πi/n))
=0

質問文中にある「その総和」＝Imz（zの虚部）=0

お礼

納得！
ものすごく、スッキリしました。
ありがとうございました。

回答No.1

pascal3

あえて図からじゃなく計算で、ですか。
たしか、某筋で有名な御手洗景子さんに、どなたかが計算での解答を書いてさしあげていたと思います。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6022188.html

お礼

早速の、ご回答ありがとうございました。