フーリエ係数

質問

フーリエ級数の勉強をしていたのですが、フーリエ係数を求める公式の求め方がのっていませんでした。ぜひ知りたいのですがどこにも載っていなかったので教えてもらいたいです。知っている方教えてください。お願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

フーリエ係数は関数f(x)をフーリエ展開することで得られます。

f(x)が0≦x≦2πで定義された積分可能な関数で、

f(x)＝A0/2 + [n=1→∞]Σ{An cos(nx) +Bn sin(nx)}

と展開できるとすると、

フーリエ余弦係数：An＝1/π [x:0→2π]∫f(x) cos(nx) dx
フーリエ正弦係数：Bn＝1/π [x:0→2π]∫f(x) sin(nx) dx
ただし、n=0,1,2,3,・・・で、B0=0

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E7%B4%9A%E6%95%B0#.E5.AE.9F.E6.95.B0.E5.80.A4.E9.96.A2.E6.95.B0.E3.81.AE.E3.83.95.E3.83.BC.E3.83.AA.E3.82.A8.E7.B4.9A.E6.95.B0

お礼

回答ありがとうございました。

＞フーリエ係数は関数f(x)をフーリエ展開することで得られます。
とありますが、なぜそうなのかが知りたいです。知っていれば教えてください。お願いします。

回答No.3

Mr_Holland

＃１／＃２です。
お礼と補足を拝見しました。ありがとうございます。

＞シグマが消えないんですけどどうしたらよいでしょう？

「これは途中でn=mとn=/mで場合わけしますよね？」とお尋ねということは分かっておられると思うのですが、一応説明しておきますと、
ANo.2の式☆の右辺だけを取り出して、cos(nx)をかけて積分区間x:0→2πで積分すると、
　　[x=0→2π]∫[A0/2 + [m=1→∞]Σ{Am cos(mx) +Bm sin(mx)}]cos(nx) dx
　＝[x=0→2π]∫A0/2 cos(nx)dx＋[m=1→∞]Σ{ [x=0→2π]∫Am cos(mx) cos(nx)dx＋[x=0→2π]∫Bm sin(mx) cos(nx)dx}
　＝０＋[m=1→∞]Σ{ [x=0→2π]∫Am/2 [cos{(m+n)x}+cos{(m-n)x}]dx + [x=0→2π]∫Bm/2 [sin{(m+n)x}+sin{(m-n)x}]dx }

ところで、
　[x=0→2π]∫cos{(m+n)x}dx=0　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・4つの式をまとめて式(1)とする
　[x=0→2π]∫cos{(m-n)x}dx=0 (m≠nのとき)、=2π(m=nのとき）
　[x=0→2π]∫sin{(m+n)x}dx=0
　[x=0→2π]∫sin{(m-n)x}dx=0
だから（これでΣがとれます）、ANo.2の式☆の右辺をcos(nx)をかけて積分区間x:0→2πで積分したものは、
　＝An/2・2π＝πAn・・・・・（２）
一方、ANo.2の式☆の左辺に(nx)をかけて積分区間x:0→2πで積分したものは、
　＝[x=0→2π]∫f(x)cos(nx)dx・・・（３）
したがって、(2)と(3)から
　An＝1/π・[x=0→2π]∫f(x)cos(nx)dx

この手順と同様にすれば、Bnについても導出できるはずです。

＞A_nが（n=m)のときだけ答えが出たらB_nもn=mとしてよいのでしょうか？
そのことは、同様に式を変形していって、(1)の関係を使うことで分かるでしょう。

お礼

なるほど！ｎが消えたからΣを消してもよいということなんですね。

かなり詳しく回答してくださってありがとうございました。おかげで解決できましたm(__)m

回答No.2

Mr_Holland

＃1です。
お礼を拝見しました。ありがとうございます。

＞＞フーリエ係数は関数f(x)をフーリエ展開することで得られます。
＞とありますが、なぜそうなのかが知りたいです。知っていれば教えてください。お願いします。

どのように「フーリエ級数の勉強」をされていたのか疑問に思いますが、掻い摘んで説明しますと、
フーリエ展開の式
f(x)＝A0/2 + [n=1→∞]Σ{An cos(nx) +Bn sin(nx)}
と三角関数の直交性から求められます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E7%B4%9A%E6%95%B0#.E4.B8.89.E8.A7.92.E7.B4.9A.E6.95.B0.E3.81.AE.E7.9B.B4.E4.BA.A4.E6.80.A7

具体的には、フーリエ展開の式でnをmに置き換えて、
f(x)＝A0/2 + [m=1→∞]Σ{Am cos(mx) +Bm sin(mx)}・・・☆
とし、両辺にcos(nx)をかけてx:0→2πの範囲で積分してください。
左辺に積分の式で、右辺はπAnになります。
これでAnの式が得られるはずです。
（三角関数の積和の公式や２倍角の公式を使ってください。）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0#.E6.B4.BE.E7.94.9F.E5.85.AC.E5.BC.8F

同様に式☆の両辺にsin(nx)をかけてx:0→2πの範囲で積分してください。
左辺に積分の式で、右辺はπBnになり、Bnの式が得られるはずです。

お礼

回答ありがとうございました。

なるほど、大体分かってきました。これは途中でn=mとn=/mで場合わけしますよね？その時、A_nが（n=m)のときだけ答えが出たらB_nもn=mとしてよいのでしょうか？

補足

すいません。シグマが消えないんですけどどうしたらよいでしょう？
ご迷惑おかけしますm(__)m