平面波の偏光

質問

A=a*exp{j(θ+Φ)}
　　B=-b*exp{j(θ+φ)}
の2式からθを消去したいのですが、平面波は実表示では
与えられていません。sin か cosに置ければ、加法定理
から解けるのですが、この場合どのように解ければいいのでしょうか？
今回はΦ=π/2,φ=0ですが、できればΦ、φで教えていただければ
ありがたいです。

回答No.6

hitokotonusi · ベストアンサー

＞では、波の関数をexp(jθ)のと与えられたとして、それは必ずcosθなのでしょうか？

はい。exp(jθ)と与えられれば、かならずcosθです。
しかし、θの内容によって波の性格は変わります。
平面波とすれば、

θ=kx-wt

ならばコサイン波、

θ=kx-wt±π/2

ならサイン波です。

ですから、平面波を一般的にあらわす場合、δを初期位相として

cos(kx-wt+δ)

もしくは、

e^[i(kx-wt+δ)]

と書きます。

＞使う場合がありますよね。その場合、sinθであっても、
＞cosθであっても同じようにexp(jθ)と表示させます。

本当は、これはまずいでしょうね。sinθならexp([j(θ-π/2)]と書くべきです。

が、初期位相の絶対値が問題になるケースというのは存在しないので、あまり気にしないのが普通です。この質問の問題のケースでもNo2の“お礼”の正解を見て分かるとおり、結果にはΦ-φという相対的な位相差しか現れません。これ以外にA、Ｂに共通な初期位相δがあってもなくても結果に影響しません。

回路はあまり詳しくないですが、問題となるのはたとえば電流と電圧の位相差なのであって、電圧がサインかコサインかで結果が変わるものではないはずです。

そもそも、初期位相δというものは、座標軸の選び方で人為的にいかようにもかえられます。時間軸なら1/4周期だけ時間原点をずらせばサインとコサインが入れ代わりますが、現実におきている現象が人間の座標原点の選び方でで変わるはずがないのです。

要は、位相差がきちんとした値になるように一貫した選び方がされていればなんの問題もないということです。“一貫した”というところが重要で、

A=a cosθ、B=b sinθと与えられているものをA=a e^(iθ)、B=b e^(iθ)

としてしまうのは問題がありますが、

A=a sinθ、B=b sinθをA=a e^(iθ)、B=b e^(iθ)

とするのは物理的には何の問題もありません(もっとも、試験などでは×にされるおそれがないとはいえない)。しかし、数学的な形にこだわれば

A=a e^[i(θ-π/2]、B=b e^[i(θ-π/2)]

です。ただ、問題はありませんが、普段から後者の書き方をしておいたほうがよけいな混乱を引き起こさずにすむとは思います。

お礼

回答ありがとうございます。
一応頭の中で整理ができました。

>A=a sinθ、B=b sinθをA=a e^(iθ)、B=b e^(iθ)
>とするのは物理的には何の問題もありません(もっとも、試験などで>は×にされるおそれがないとはいえない)。

　自分のことろだけかもしれませんが、電気系では、全然問題
ありません。むしろ、そうしろと習いました。これは、数学的な
正確さを省いても、物理的に答えが導ければいいじゃん。という
考えの下だと思います。実際他にも、強引な近似から公式を
導き出すことは、よくあります。時と場合によるかもしれませんが、
「有効数字3桁があっていれば問題ない」そうです。

回答No.7

foobar

波を複素数表記する場合、式が（ご質問のA,B）が何をあらわしているのか、には留意する必要が有るかと。。

1．　A,Bがある平面波のx成分,y成分を便宜的に複素表記しているような場合
(正しくは、A=Re(a exp{jθ..})と書くべき場合（Reは実部を取り出す演算子）には、＃５さんが書かれているように、実数部だけを取り出して計算する必要があります。

2．　A、Bがそれぞれ平面波を空間的に複素表記している場合(A=Ax+jAyなどと書ける場合）には複素数のまま処理します。（先の回答を書いたときには、こちらをい目地していました。このように、円偏波をひとつの指数関数で表す（この場合、A,Bはそれぞれ円偏波の平面波を意味します）表記も結構使われます。）

で、＃２補足訂正（ご質問の趣旨からすると余談になるかな）
A,Bが二つの円偏波を複素表記したものだとして、波のエネルギーを計算したりする場合には、
（複素共役を便宜上「’」であらわします)
AB’=-ab*exp{j(Φ-φ)}
というような形を使うこともあります。(波の（複素）エネルギーみたいなのを計算するときには、こんな形の表記が出てくるかとおもいます。|E|^2もこの形(EE')で計算するかと思います。（一定値になるのは対象が円偏波で|E|^2=Ex^2+Ey^2になるため））

お礼

回答ありがとうございました。
そうですね、自分イメージは1でした。2のような考え方もあるんですねぇ。勉強になりました。

回答No.5

hitokotonusi

質問者の回答を待ってもいいのですが、混乱するといけませんので待たずに再度書きます。

この場合は指数関数は使えません。これは簡単に確認できます。

電場が波であるとしてその二乗を計算しましょう。
電場をこう書きます。

E=a*cosθ

θは位置と時間の関数でxの正方向に伝搬する平面波なら
θ=kx-wtです。

この場合、Eの二乗は

E^2 = a^2 * (cosθ)^2　　　(1)

になります。これが正しい答です。

しかし、通常は三角関数は扱いにくく、実数部のみをとれば正しい答が得られるため、指数関数で波を扱うのが普通です。そこで、電場を指数関数で表すとすると、

E = a*e^(iθ)

となります。二乗してみましょう。

E^2 = a^2 * (e^(iθ))^2 = a^2 * e^(2iθ)=a^2 * (cos 2θ+ i sin2θ)

物理的に意味があるのは実数部ですから

E^2 = a^2 cos 2θ= a^2 (cosθ)^2 - a^2 (sinθ)^2

となり、(1)とは一致しないのです。

大事なことなのできちんと確認してください。
指数関数が使えるのは、線形計算(ようするに加減算)のみです。
二乗が入っただけでもう使えません。

しかし、三角関数を扱うのはやっぱり大変なので、線形でない場合には

cosθ= [e^(iθ)+e^(-iθ)]/2

として計算することがよくあります。しかし、この質問のケースではこうするメリットがほとんどないので、コサインのまま三角関数の加法定理を使うのがベターです。

お礼

回答ありがとうございます。
　Re[a^2 * (e^(iθ))^2 ]=Re[ a^2 * e^(2iθ)]
=Re[a^2 * (cos 2θ+ i sin2θ)]
=a^2*cos2θ
=a^2*{(cosθ)^2-(sinθ)^2}
≠a^2*(cosθ)^2
E=a*exp(jθ)が実部しか物理的に意味を持たないわけですから、
exp(jθ)のまま2乗することは、間違っているようですね。
下のお礼でもかかせていただきましたが、
exp(jθ)は必ずcosθなのでしょうか？Φ、φが具体的に与えられて
いる場合、sinかcosかだけでπ/2ずれるので、あいまいにできないきがするのですが。

回答No.4

Mr_Holland

＃１です。
お礼を拝見しました。ありがとうございます。

答えは＃２さんの方法が一番楽だと思いますが、三角関数で解きたいのであれば、

A/a (cosΦ-j sinΦ) = exp(jθ)
-B/b (cosΦ-j sinΦ) = exp(jθ)

になると思います。

＞(A/a)*sinφ-(B/b)*sinΦ=exp(jθ)*sin(Φ-φ)
＞(A/a)*cosφ-(B/b)*cosΦ=jexp(jθ)*sin(Φ-φ)
＞というところまでは計算したのですが、

上の２つの式は符号が合ってます？

間違っているかもしれませんが、私が計算した結果を記しておきます。
(A/a)*sinφ＋(B/b)*sinΦ＝－exp(jθ)*sin(Φ-φ)
(A/a)*cosφ＋(B/b)*cosΦ＝　j exp(jθ)*sin(Φ-φ)
２式を自乗して両辺を足し合わせると、右辺が０になり、A'=A/a, B'=B/bとすると整理した式は、
cos(Φ-φ)＝－(A'^2+B'^2)/2A'B'
　　　　＝－(b^2 A^2 +a^2 B^2)/2abAB
になりました。
参考にしてください。

お礼

回答ありがとうございます。

>(A/a)*sinφ-(B/b)*sinΦ=exp(jθ)*sin(Φ-φ)
＞(A/a)*cosφ-(B/b)*cosΦ=jexp(jθ)*sin(Φ-φ)
＞というところまでは計算したのですが、

間違ってます。すみません。第1式が
-(A/a)*sinφ+(B/b)*sinΦ=exp(jθ)*sin(Φ-φ)
がでした。それでも、Mr_Hollandさん解答と違いますね。
もう少しやってみます。

回答No.3

hitokotonusi

なるほど。偏光の軌跡の計算ですね。
この場合は計算が線形でないので指数関数は使えません。

波をあらわす関数として物理的に意味のあるのは実数部だけですから、

A=a*cos(θ+Φ)
B=-b*cos(θ+φ)

から、すなおに加法定理で計算してください。

お礼

回答ありがとうございます。
自分が定義を勘違いしているかと思いまして、質問させてください。
波を表す関数として、虚部が意味がないのはわかります。
では、波の関数をexp(jθ)のと与えられたとして、
それは必ずcosθなのでしょうか？
　話が変わりますが、回路の問題を解くとき、フェーザ表示を
使う場合がありますよね。その場合、sinθであっても、
cosθであっても同じようにexp(jθ)と表示させます。
　この場合はどうなのでしょうか？exp{j(θ+Φ)}と変数で
計算しているときは、気にしなくてもいいのですが、
Φが実際に与えられている時は、あいまいにできない気がするのですがどうでしょうか？

回答No.2

foobar

exp{j(θ+φ)}=exp{jθ}exp{jφ}
を使って、
A/B=-a/b exp{j(Φ-φ)}
というのでは、まずいでしょうか。

お礼

返信ありがとうございます。
途中でsin cos を使って解いた場合の答えが
　(A/a)^2+(B/b)^2-(2AB/ab)cos(Φ-φ)=sin^2(Φ-φ)
となるはずなので、expで解いた場合も同じになるはずです。
しかし、expの場合（exp{j(θ+φ)}=sin(θ+φ)+jcos(θ+φ)
を使って解いた場合もそうですが）、虚数部分が影響してきて
右辺が0になってしまいます。
その扱いが全く分からないです。もしくは、考え方そのもの
が違うのかもしれないですね(T_T)

回答No.1

Mr_Holland

複素数でも対数が使えるので、両辺に対数をかけるのが楽だと思います。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%AF%BE%E6%95%B0#.E8.A4.87.E7.B4.A0.E6.95.B0.E3.81.AE.E5.AF.BE.E6.95.B0.E9.96.A2.E6.95.B0

どうしても三角関数で解きたいのであれば、指数関数を三角関数に置き換えて、実部と虚部に分けて計算すればできると思います。

exp(x+jy) = exp(x) cos(y) + j exp(x) sin(y)

お礼

早速の返信ありがとうございます。
(A/a)*sinφ-(B/b)*sinΦ=exp(jθ)*sin(Φ-φ)
(A/a)*cosφ-(B/b)*cosΦ=jexp(jθ)*sin(Φ-φ)
というところまでは計算したのですが、
この2式を各々2乗して、1式にまとめたいのですが、
expではなくcos sinであれば、右辺はきれいにまとまる
はずなのですが、この場合0になってしまいます。
右辺はどのように扱えばいいのでしょうか？