英知もとめます！！

質問

数式遊びをしていたら、

cos20°=(cos100°)^3　*cos80°+(sin100°)^3　*sin80°

という、加法定理にとてもよく似た式がでてきました。
また、

sin20°=2｛(sin100°)^3　*cos80°-(cos100°)^3　*sin80°｝

も出てきました。

これだけだと、一般性に欠けるので、こういう式を作ってみました。

cos（α-β）=(cosα)^3　*cosβ+(sinα)^3　*sinβ
sin（α+β）=2｛(sinα)^3　*cosβ-(cosα)^3　*sinβ｝

この2式は常に成り立つわけではないようです。
あるα、βがある決まった関係にあるときに成り立つようです。
cosとsinの式で両方とも同じ関係式とは限らないようです。

私もそれを考えたんですが、どうしても自信がもてません。
分かる人是非教えてください。

あ、これが有名な式なら教えてくださいｗ

余裕があれば、
sin（α+β）=2｛(sinα)^3　*cosβ-(cosα)^3　*sinβ｝を
sin（α+β）=(sinα)^3　*cosβ-(cosα)^3　*sinβとして
考えてみてください。

回答No.2

bibendumbibendum · ベストアンサー

面倒なので計算を行っていませんが
回転の一次変換の行列を使って
１００度を３回、８０度を１回、回転させる行列を計算してみてください。
たぶん最初の式がでてきます。
３８０度回転は２０度回転と同じなので
あなたの考えた式がでてくるはずです。

cos20°=(cos100°)^3　*cos80°+(sin100°)^3　*sin80°を一般化すると

cosγ=(cosα^3　*cosβ°+(sinα)^3*sinβ
γ=mod（3α＋β,360）

お礼

回答ありがとうございます。

おお、これは素晴らしいですね。
回転行列でやってみると、
cos20°=(cos100°)^3　*cos80°+(sin100°)^3　*sin80°
が確かに出てきました。

なるほど！
cosγ=(cosα^3　*cosβ°+(sinα)^3*sinβ
γ=mod（3α＋β,360）
これは素晴らしいです。

20°というのは、そうか、なるほどなぁ。
ありがとうございました！

回答No.1

orcus0930

そもそも，α，βに対称性がないので，一般的に成り立たないことは簡単に示せる．

手を動かしてもいいが，めんどくさいので，WolframAlphaに式を突っ込んでみた．

cos（α-β）-(cosα)^3　*cosβ-(sinα)^3　*sinβ
= sinα cos α sin(α＋β)
となるので，等号成立の条件は簡単に導けますよね？

他のものも同様にWolframAlphaで式を簡単にすればほぼ議論は終了

お礼

いや～ひどい回答ですねぇ～

ありがとうございました！

補足

WolframAlphaではなく、英知求めます！！