数値解析に関する実数列

質問

ｋを1以上の整数とする。X0,X1,X2,X3,....,Xkを前もって与えられた数直線上に相異なる点列とし、y0,y1,...,ykを任意の実数列とする。各j=0,1,...,kに対してPjはPj(Xi)=yi,i=0,....,jを満たす高々j次の多項式とする。このとき、Pk(X)=Pk-1(X)であるための必要十分条件はPk-1(Xk)=ykであることを示したのですがどのように証明したらいいのかアドバイスお願いします（泣）

回答No.1

killer_7 · ベストアンサー

P_jがどのような多項式か分かっていれば自明ですが，その感覚はありますか？
P_j(x)は，あたえられた(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_j,y_j)というj+1個の点をすべてとおるj次以下の多項式で，これは一意に決まります
（n+1個の点をとおるn次以下の多項式はただひとつに決まることに注意してください）．

たとえば，k=2のとき，
(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2)という異なる3点の座標があたえられて
P_0は，1点(x_0,y_0)を通るたかだか0次の多項式（P_0=y_0），
P_1は，2点(x_0,y_0),(x_1,y_1)を通るたかだか1次の多項式（2点を通る直線），
P_2は，3点(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2)を通るたかだか2次の多項式（3点を通る2次以下の関数）
というふうに決まるのですね．

以上のことがわかっていれば示すべき命題は自明で，
P_k(x)=P_{k-1}(x)：(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_k,y_k)を通る多項式と(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_{k-1},y_{k-1})を通る多項式がひとしいこと
と，
P_{k-1}(x_k)=y_k：(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_{k-1},y_{k-1})を通る多項式上に(x_k,y_k)があること
とは同値ですよね．

証明は必要性と十分性をべつべつに書けばよいでしょう．
「P_k(x)=P_{k-1}(x)ならばP_{k-1}(x_k)=y_k」は定義からあきらかだし，
「P_{k-1}(x_k)=y_kならばP_k(x)=P_{k-1}(x)」は，
P_{k-1}(x_k)=y_kより，P_{k-1}とP_kはともにk+1個の点
(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_k,y_k)をとおる．このようなk次以下の多項式はただひとつに決まるから，P_{k-1}とP_kはひとしい．
とでもしましょうか．