確率の排反と独立

質問

排反と独立の意味の違いがまったくわかりません。本にはこの二つに違いを区別するのがポイントのようなことが書いてありましたが、違いがわかりません。

教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.4

edomin · ベストアンサー

「ではほぼ同じ意味と考えていいのでしょうか。」
違います。
あるコインを上に向かって投げたとき、落ちたコインが表を向いているか裏を向いているかは、同時には起こりえないので排反です。これは、表が出ることと裏が出ることに「関係がある」ことになります。（表だから裏じゃない。又は裏だから表じゃない。）
もう一枚コインを投げたとき表になるか裏になるかは１枚目のコインには「関係がありません。」（一枚目が表だったから、２枚目は裏とは限りません。）
なので、１枚目のコインと２枚目のコインで裏表どちらの面が出るかは独立しています。

「独立とは「排反だから独立である。」といえるでしょうか。」
言えません。

排反とは、この場合一つのものの中でおきる事象について言っています。また、独立とは一つの事象が他の物の事象と関係があるかどうかを言っています。

例えば、袋の中に白石３個と黒石３個が入っていたとします。
石を一つ取り出すとき白石なのか黒石なのかは排反です。
（排反＆独立の例）
「１回目」袋から石を一つ取り出して色を確認し、この石を袋に戻します。
「２回目」袋から石を一つ取り出して色を確認し、この石を袋に戻します。
このとき、「１回目」の石の色と「２回目」の石の色は独立です。
（排反＆独立じゃない例）
「１回目」袋から石を一つ取り出して色を確認し、この石を捨てます。
「２回目」袋から石を一つ取り出して色を確認し、この石を捨てます。
このとき、「１回目」の石の色と「２回目」の石の色は独立ではありません。「１回目」で石を捨てているので、「２回目」は「１回目」にどの色が出たかで変化します。

どうでしょう？少しは役に立ったでしょうか？

お礼

みなさん本当にありがとうございます。

排反とは、この場合一つのものの中でおきる事象について言っています。また、独立とは一つの事象が他の物の事象と関係があるかどうかを言っています。

これがすべてですね。これを理解することができれば定義を厳密に暗記する必要もないし、すべてわかります。それを皆さんが挙げてくださった例で確認しました。

回答No.6

Mr_Holland

再び＃２です。
＞２さんの物を定義として暗記することにします。

こんな拙いものを定義だなんて止してください。
暗記するならもっと正確なものを紹介します。

参考URLで、「排反」と「独立」で検索を掛けてください。

参考URL：

http://www.sist.ac.jp/~suganuma/kougi/other_lecture/SE/math/prob/prob.htm

回答No.5

Mr_Holland

＃２です。

例えば、何か商品を買ってお金を払う状況を想定します。
事象Ａ：「商品を買う」
事象Ｂ：「財布のお金が減る」
この場合、商品を買うこととお金が減ることには因果関係があるので、従属状態にあることが分かると思います。

ここで、仮に、起こるはずのない、商品を買ってもお金が減らない状況を想定して
事象Ｂ’：「財布のお金が減らない」
とすると、事象ＡとＢ’は排反であるといえます。

一方、何らかの要因で観測方法を誤って他人の財布の中身を調べてしまったとして
事象Ｃ：「他人の財布のお金が減る」
とすると、この場合は事象Ａとは無関係に事象Ｃが起きたり起こらなかったりしますので、事象ＡとＣは独立といえます。

分かりやすい例といえるかどうか不安ですが、排反と独立がまったく異なるものであることが分かってもらえると嬉しいです。

回答No.3

koko_u

独立を説明する際の「無関係だから」という言い回しが誤解を招いている元凶ですね。

edomin 氏のサイコロの例でいくと、一回目と二回目に出るサイコロの目を

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) ...
(3,1) (3,2) ...
(4,1) ...
(5,1)
(6,1)

と並べた時に、「二回目に2が出る確率」は全体の中で
　　この列分 = 6/36
　　　　↓
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) ...
(3,1) (3,2) ...
(4,1) ...
(5,1)
(6,1)

「一回目に1が出た条件の下で二回目に2が出る確率」は2次元の表が1行だけ切取られて、
　　　これ = 1/6
　　　　↓
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

という具合に、確率を計算した時に「一回目に1が出た」という事象がきれいに約分できてしまう状態を「独立」と言います。

# 却ってわかりにくいな。

補足

馬鹿な僕にはまだいまいちわからないので、２さんの物を定義として暗記することにします。

回答No.2

Mr_Holland

次のように捉えたらいかがでしょう。

排反とは、２つの事象が同時には起こりえないこと。
独立とは、２つの事象の間になんら関係がないこと。

分かりやすい例を＃１さんが書かれています。

補足

ではほぼ同じ意味と考えていいのでしょうか。また独立とは「排反だから独立である。」といえるでしょうか。

回答No.1

edomin

排反と独立をサイコロで考えてみましょう。
サイコロで「１」の目の出る事象と「２」の目がでる事象は同時には発生しません。こういう状態を「排反」といいます。これは、「１」～「６」までどの目でもいえることです。
そこに、もう一つサイコロを持ってきて振ったとき最初のさいころの目が「１」になる事象と、２個目のサイコロのめが「２」になる事象は、全く関係ないので、同時にも起こりえます。こういう状態を「独立」といいます。

参考まで…。