独立変数と従属変数は一目で分かるのでしょうか

質問

ある方程式を見てどれが独立変数でどれが従属変数かを数学的に区別することは可能なのですか。独立変数とか従属変数というのは数学の専門用語なのだと思いますが、このような区別が数学のなかで役に立つ例を教えていただけると幸いです。

回答No.1

banakona · ベストアンサー

＞どれが独立変数でどれが従属変数かを数学的に区別することは可能なのですか
区別を問題にするということは、その方程式（関数？）は他人から与えられたものですよね？　ならば、

「陽関数なら可能、陰関数なら不可能」

が正解っぽいです。

陽関数　ｙ＝ｓｉｎθ　　ｚ＝ｘ^2＋ｙ－１　など
　　前者ならθが独立変数、ｙが従属変数
　　後者ならｘ、ｙが独立変数、ｚが従属変数
　　　ただし、後者にｙ＝１／ｘなどの付帯条件が付いていたら
　　　ｙも従属変数になります。

陰関数　ｘ^2＋ｙ^2＝４　ｘ＋ｙ＋ｚ＝５　など

ただし、実際には陽関数と陰関数が連立して与えられる場合もあるので、一般には「よく分からない」が結論になりそうです。

※自分が立てた方程式なら、陽関数か否かに関わらず「自分が算出結果として欲しがっているものが従属変数、それ以外が独立変数」となるでしょう。

＞区別が役に立つか

どうでしょう・・・　
特に陰関数の場合、どれかを独立変数とみなすと他が従属変数になるので、区別自体がユーザーの主観になってしまいます。「ｘを従属変数とみなすと、与関数は～～と書き表せる」といったことが重大な成果をもたらすなら「役に立つ」と言ってもいいかも。

お礼

御教示ありがとうございました。大変勉強になりました。厚くお礼申し上げます。

回答No.2

Knotopolog

ANo.1さんの回答で良いと思います．

>ある方程式を見てどれが独立変数でどれが従属変数かを数学的に区別する
>ことは可能なのですか。

独立変数と従属変数の区別は，習慣として決めていることが多いです．独立変数と従属変数の区別が数学的な記号として取り決められている，あるいは約束されているということはありません．
独立変数とは，自分ですきなように自由に勝手な数を与えてもいい変数です．つまり，他から何の束縛もなく，支配もされず，如何なる値でもとれる自由度をもつ変数です．一方，従属変数は，その名の通り他に従属する変数です．従属変数は，勝手な値はとれません．独立変数の値が決められた後，従属変数の値が決まります．

例１：y=x^2
独立変数 x の値 1 2 3 4 5 ... n ...
従属変数 y の値 1 4 9 16 25 ... n^2 ...

例２：y=x^2, x=(+-)(√y)
独立変数 y の値 1, 2, 3, ... n, ...
従属変数 x の値 (+-)1, (+-)(√2), (+-)(√3), ... (+-)(√n), ...

独立変数と従属変数は，そのとき，どう考えるか，と言うだけのことで，独立変数と従属変数を逆に考えても，かまわないのです．ただ，なぜ逆にするかの理由をはっきりさせておく必要があります．

>独立変数とか従属変数というのは数学の専門用語なのだと思いますが、
>このような区別が数学のなかで役に立つ例を教えていただけると
>幸いです。

貴方の言う「数学のなかで役に立つ」の意味，真意がよく分かりませんが，それを（独立変数か従属変数かの区別）はっきりさせないと，数学の話，理論，計算が先へ進みません．二次方程式(ax^2+bx+c=0)には，独立変数も従属変数もありません．y=f(x)と書けば，普通は x が独立変数で，y が従属変数です．f は任意関数で，x^2 や sin x の関数形です．この y=f(x) を y が独立変数で x が従属変数だと考えてもいいのです．そういう必要が生じたときの話ですが．