事象の独立（確率）

質問

確率で事象の独立について、ある本には

1) P(A∩B)=P(A)・P(B) ⇔ P(A)=P(A|B) ⇔ P(B)=P(B|A)

と書いてあり、別の本には

2) P(A∩B)=P(A)・P(B) ⇔ P(A)=P(A|B) または P(B)=P(B|A)

と書いてあります。自分は

3) P(A∩B)=P(A)・P(B) ⇔ P(A)=P(A|B) かつ P(B)=P(B|A)

だと思うのですが、1)2)3)のどれが正しいのでしょうか？
　よろしくお願いします。

回答No.6

kumipapa

ごめん。トタンの話は私が読み違えていたようです。

P(B) = P(B|A) は成立する　（錆びていても雨で濡れる確率は変わらない）
が
P(A) = P(A|B) は成立しない　（雨に濡れれば錆びやすくなるだろう）
ということですよね？
であるとすると、条件付き確率がちゃんと理解できていないのでは？と思われます。

＞　P(A|B)は「トタン屋根が雨で濡れたときに錆びる確率」となり、
＞　逆にP(B|A)は「トタン屋根が錆びたときに雨で濡れる確率」となります。
違います。これはP(A|B) と P(B|A) とで異なる事象の話をしていて、同じ確率空間で議論がなされていません。感覚的、文学的すぎです。分かりやすい例を挙げるにせよ、もう少し数学として最低限守るべきベースはきちんとしましょう。

１）　「P(A|B)は『トタン屋根が雨で濡れたときに錆びる確率』」
は、「B: トタンが雨で濡れた」が先に起きて、その後、「A: 錆びる」が起きるかどうかを考えている。
２）　「逆にP(B|A)は『トタン屋根が錆びたときに雨で濡れる確率』」
は、「A: 錆びる」が先に起きて、その後、「B: 雨に濡れるかどうか」という事象を考えている。ここで、１）のＡ，Ｂと、２）のＡ，Ｂとは同じ事象ではありません。２）のＡ：錆びると１）のＡ：錆びるが同じ事象を指しているつもりなら、２）のＢ：雨に濡れるは１）のＡ：雨に濡れたとは別の事象なのです。きちんと同じ土俵で比較をするならば、
１）　P(A|B)は「トタン屋根が雨で濡れたあとに錆びる確率」
ならば、
２）　P(B|A)は「トタン屋根が錆びているとき、それが以前、雨に濡れたものである確率」
としなければ、１）と２）で比較可能な条件付確率になりません。
具体的に示すと、
トタンが１００枚ある。
Ａ：４０枚は錆びているトタン
Ｂ：５０枚は雨に濡れた事があるトタン
Ａ∩Ｂ（錆びていて、かつ、雨に濡れた事ある）のトタンの枚数は３０枚
としましょう。トタンを１枚取り出したときに、
P(A) = 40/100 = 2/5　（そのトタンが錆びている確率）
P(B) = 50/100 = 1/2　（そのトタンが雨に濡れた事がある確率　）
です。ここで、P(A|B) は「１枚取り出したら雨に濡れた事があるトタンだったとき、それが錆びている確率」なので、
P(A|B) = 30/50 = 3/5 ≠ P(A)
つぎに、P(B|A) は「１枚取り出したら錆びているトタンだったとき、それが雨に濡れた事があるトタンである確率」なので、
P(B|A) = 30/40 = 3/4 ≠ P(B)
P(A|B) = P(A) も P(B|A) = P(B) も成り立たず、A と B とは独立ではありません。ちなみに、P(A∩B) = 30/100 = 3/10 ≠ P(A) P(B) ですから、やはりA, B は独立ではない。当たり前です。
ちょっとシチュエーションを変えて、
Ａ∩Ｂ（錆びていて、かつ、雨に濡れた事がある）のトタンの枚数は２０枚
としましょう。すると、
P(A) = 40/100 = 2/5　は変わらない
P(B) = 50/100 = 1/2　も変わらない
P(A∩B) = 20/100 = 1/5 = P(A) P(B)　A,B は独立
P(A|B) = 20/50 = 2/5 = P(A)
P(B|A) = 20/40 = 1/2 = P(B)
ですから、この場合は、P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B), P(A∩B) = P(A) P(B) はすべて成立。だって、A, B は独立ですから当たり前です。

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)　の一方しか成立しないならば、それは何かの間違いです。

お礼

その後調べなおしたところ、事象についての理解が間違っていたようです。事象は標本空間の部分集合でした。補足は全部無視してください。
　どうも有難うございました。

補足

> P(A|B) と P(B|A) とで異なる事象の話をしていて
何が異なっているのか理解できません。表現上の僅かの違いを捉えて揚げ足とりをしているとしか思えません。
> トタンが１００枚ある...
これは全く別のケース。「錆びる」という事象と「錆びたものを選ぶ」という事象は別物。こちらは反例を挙げてある関係[P(A)=P(A|B)⇔P(B)=P(B|A)]が一般的に成り立たないことを示そうとしているのですから、それに反論する側が別のケースを挙げてそれが反例となっていないことを示しても、何にもなりません。
> 感覚的、文学的すぎです
どちらがでしょうか？

回答No.5

kumipapa

＞　なにか勘違いしていますでしょうか？
よくわからないけど、多分、Ｙｅｓ

Ｐ（Ａ｜Ｂ）の定義を式で表すとどう表されますか？

＞　P(A)=P(A|B)すなわち「～（略）」と、P(B)=P(B|A)すなわち「～（略）」は同値ではないのではないか
トタンの話の内容は一部脈絡が変な感じもしますが、#4さんがおっしゃる通り、また教科書の１）が言う通り、
P(A) = P(A|B) ⇔　P(B) = P(A|B)
はあからさまに同値。
P(A|B) = P(A∩B) / P(B) , P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
が定義ですから、
P(A) = P(A|B)
⇔ P(A)P(B) = P(A∩B)
⇔ P(B) = P(A∩B)/P(A) = P(B|A)
と式の両辺にP(A),P(B)を掛けたり割ったりするだけで示されます。
P(A) = P(A|B) も、P(A) = P(A|B) も、P(A∩B) = P(A) P(B) も、いずれもが「事象 A と B が互いに独立である」ことの定義として使われますよね。

トタンの話）
正直言って、何を言いたいのか分かりません。で、結論は、P(A|B)=P(A) と P(B|A) = P(B) が同値だということでしょうか？　だから、最初からそう言う話なのであって、何か矛盾でも？

紅白のボールの話）
＞　決して P(A)=P(A|B) ⇔ P(B)=P(B|A) ではない
完全に間違っています。事象空間A, Bがどう定義されているのかまったく不明であって、話が文学的かつ感覚的に終始しているような気がしてなりません。確率の問題を感覚的に語るのは宜しくないです。ボールの話の場合は、そもそも P(A) = P(A|B) も P(B) = P(B|A) も成立しないのにも関わらず、感覚的に（それが間違っている）片方は成立しそうなのにもう片方は成立しないですよね、と言っているに過ぎないでしょう。
具体的にきちんと考えるべきです。例えば、赤１個、白１個で考えてみましょう。A,B をどのように定めますか？例えば、
A: 1回目に白を出す
B: 2回目に赤を出す
とすると、
P(A) = 1/2
P(B) = 1/2 × 1/2 + 0 = 1/4
（1回目白かつ2回目赤が1/2×1/2, 1回目赤かつ2回目白はない）
このとき、
P(A|B) = 1 です。2回目が赤なら、1回目は必ず白だったはず。ですから、P(A|B) ≠ P(A)
P(B|A) = 1/2 です。1回目が白なら、2回目は赤か白のいずれか等確率ですから。このとき、P(B|A) ≠ P(B) です。
P(B|A)=P(B) も P(A|B) = P(A) も成立していないのだから、矛盾していません。A, B は互いに独立ではない、ということです。
A: 1回目に白を出す
B: 2回目に白を出す
としても、P(B|A)=P(B) も P(A|B) = P(A) も成立しません。
そのほか、A,B をどのように定めようが P(A|B)=P(A) と P(B|A)=P(B) の一方のみが成立することはありません。あれば、具体的にA,B の事象を定義して補足へどうぞ。その場合は、事象の定義が誤っているか、確率の計算を誤っているか、または、条件付き確率の定義を間違っている事を示す事になるでしょう。

＞　しかし、そんなことは誰も気にしていないようですね^^>
間違って気にしているだけでしょう。

補足

> A: 1回目に白を出す
　B: 2回目に赤を出す
という設定は特殊な設定ですね。こんな風(回数付き)で事象定義しなければいけないとしたら、サイコロを10回振るケースでは60個の事象定義が必要になってしまいます。普通そんなことはしませんよね。当然サイコロを振るケースでは、事象の数は6個で議論するのが普通でしょう。標本点の集合と事象を混同した？
　赤1白1で白のみ復元ありで、2回試行するケースを考えた場合、
A:赤が出る
B:白が出る
と"素直に"事象定義すればどうなんでしょうか？そうすると一回目に何色が出たか分かった上での二回目の確率[P(A|B),P(B|A)]と、分かっていない場合の二回目の確率[P(A),P(B)]を見ると、P(A)=P(A|B)だけどP(B)≠P(B|A)ではないんですか？

回答No.4

Tacosan

う～ん, 全ての確率が正であるという条件のもとでは
P(A∩B) = P(A)・P(B) iff P(A) = P(A|B)
だけで十分じゃないかなぁ. これがいえれば
P(A) = P(A|B) iff P(A∩B) = P(A)・P(B) iff P(B) = P(B|A)
はほぼ自明なので....

補足

回答有難うございます。前の方に補足させていただきました。

回答No.3

kumipapa

P(A∩B)＞0 の条件下であれば、正しい/間違っていると言うことなら、1), 2), 3)すべてが正しいのではないでしょうか。

1) が言っているように、P(A) = P(A|B) ⇔ P(B) = P(B|A) であり、一方のみが成立することはありません。それらを並べて「P(A)=P(A|B) かつ P(B) = P(B|A)」と言う必要はないようにも思います。
P(A∩B) = P(A)・P(B)　⇒　「P(A)=P(A|B) かつ P(B) = P(B|A)」
は、なるほどなのですが、その逆、
「P(A)=P(A|B) かつ P(B) = P(B|A)」⇒　P(A∩B) = P(A)・P(B)
を見ると、「かつ P(B) = P(B|A)」はその条件があってもなくても同じことなのであまり意味がありません。P(A)=P(A|B) と P(B) = P(B|A) の両方を調べる必要はなく、一方さえ成立していることを確認できれば P(A∩B) = P(A)・P(B) は言えますから、
「P(A)=P(A|B) または P(B) = P(B|A)」⇒　P(A∩B) = P(A)・P(B)
です。「または」で必要充分なんですね。

補足

回答有難うございます。他の本も見てみましたが、どれもP(A)=P(A|B)⇔P(B)=P(B|A)という前提で論じられているようですね。
　自分はどういうことを考えていたかと言いますと、たとえば事象Aを「トタン屋根が錆びる」とし、事象Bを「トタン屋根が雨で濡れる」とした場合、P(A|B)は「トタン屋根が雨で濡れたときに錆びる確率」となり、逆にP(B|A)は「トタン屋根が錆びたときに雨で濡れる確率」となります。常識的に、雨で濡れた場合にトタン屋根は錆びやすくなりますが、すでに錆びてしまっているトタン屋根に雨が降るかどうかは錆びているという条件には影響されないはずです。つまりこの設定では、P(A)=P(A|B)すなわち「トタン屋根が雨で濡れていてもいなくても錆びる確率は変わらない」と、P(B)=P(B|A)すなわち「トタン屋根が錆びていてもいなくても雨で濡れる確率は変わらない」は同値ではないのではないか、と思ったりしたわけです。
　上の例でまずければ、壷から紅白のボールを複数取り出す例で、一方の色について非復元的に、もう一方についてのみ復元的に試行した場合でもいいのではないかと思います。つまり、取り出したボールが赤だった場合にはそれを壷へ戻さずに次の試行を行うが、白だった場合にはそれを壷に戻して次の試行を行うようにするわけです。こうすれば、赤が出たという事象は次の試行の確率に影響を与えますが、白が出たという事象は次の試行の確率には一切影響を与えないことになるのではないか、と思ったわけです。
　こういったケースを想定した場合は、決してP(A)=P(A|B)⇔P(B)=P(B|A)ではありませんよね？
　しかし、そんなことは誰も気にしていないようですね^^>。何か勘違いしてますでしょうか？

回答No.2

kumipapa

#1 訂正です
誤　P(A)=0 なら P(B|A)は定義されない
正　P(B)=0 なら P(A|B)は定義されない

補足

回答有難うございます。2)が書いてある方の本にP(A∩B)≠0という条件が明記されていましたので、AもBも空事象ではないという条件の下での話になるかと思います。
　よろしくお願いします。

回答No.1

kumipapa

1), 3) は P(A)＞0, P(B)＞0 のときに成立しますが、
例えば P(A)＞0, P(B) = 0 ( B が空事象)のときは

P(A∩B) = P(A)・P(B) ( = 0 ) 　は成立し、
P(B) = P(B|A) ( = 0 ) 　も成立しますが、
P(A) = P(A|B) 　は成立しませんよね（ P(A)=0 なら P(B|A)は定義されない）。

そういうことかな・・・と思います。
教科書に、何かそのあたりの条件は示されていないでしょうか。