指数が実数の場合の定義の妥当性

質問

指数が実数の場合は、有理数の点列の極限値として定義されてますが、・・・・・
　例えば、２^√2は、２^1.4、２^1.41、２^1.414、・・・の極値としてとして。
　この点列がある一定の数値に、収束することはどうして説明されるのでしょう。

回答No.3

sacra_sak · ベストアンサー

ではもう一度．先ほど挙げた「単調かつ有界な数列は収束する」につきるのですが，これを説明します．
数列 {a_n} ={2, 2^1.4, 2^1.41, 2^1.414, ...} を考えましょう．これは上に有界で単調増加です．どう考えても 2^2 =4 が上界にあり，有理数指数ですから単調増加であることは大丈夫ですね．
さて集合 X ={2, 2^1.4, 2^1.41, 2^1.414, ...} とします．X は要素が実数の，上に有界な空でない集合ですから，最小上界があって，それを sup X =S とします．
むろん最小上界 (上限) sup の定義によって，ある ε (＞0) について S -ε は既に X の上界ではありません．
したがって以上まとめると，ある番号 N があって，
　　　S -ε＜a_N≦a_{N+1}≦a_{N+2}≦・・・≦S
です．これより N 以上のすべての n に対して，
　　　S -ε＜a_n≦S
です．つまりどんな小さな正数 ε についてもこの a_n は，
　　　|a_n -S|＜ε
であり，n→∞ の極限で a_n→S (=sup X) と収束することがいえます．

お礼

詳しい説明ありがとうございます。分かりました。

回答No.2

kakkysan

単調増加である数列が上に有界なら収束する。

お礼

こんな定理があったのですね。感謝。

回答No.1

sacra_sak

直観的には明らかでないでしょうか．
2 を底とする指数関数 2^x を考えますと，これは単調に増加するわけです．2^√2 は 2 と 2^2 の間にあって，また 2^1.4 と 2^1.5 との間にあって，そのまた 2^1.41 と 2^1.42 の間にあって・・・と考えていくと，収束することはおそらく確かでしょう．
実はこの議論は，かのオイラーも同じことを言っていて，彼は無理数の指数を「ずっと理解しがたいもの」とし，
　　　a^√7 erit valor determinatus intra limites a^2 et a^3 comprehensus
すなわち「a^√7 は a^2 と a^3 なる限界の間にある値であろう」と言ったそうです．
これは現代的には「単調かつ有界な数列は収束する」という定理で説明されます．すなわち数列 {1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ...} は単調増加で上に有界ですから収束する，ということです．

補足

実数の場合が定義できていない状態で、指数関数を考えることは、順序が逆では？
　直感的には私も理解できますが、もっと順序だてて理解したかったものですから、この質問になりました。