ラプラス変換について

質問

x' + 2x = 3　　　　－－－－－－－－－　　（１）
x(0) = 2 をラプラス変換を用いて解け　という問題があるんですけど、解き方が↓のようになっています。

s*X(s) - X(0) + 2*X(s) = 3/s　　　　－－－－－－－－－－　　　　（２）

(s+2)*X(s) - 2 = 3/s

X(s) = {2s+3} / { 2(s+2) }

なんやかんやで答えは

x = 1/2 e^(-2t) + 3/2

となっています。

（１）の式を、どうすると（２）の式になるんですか？
指定の教科書はなく、授業でとったノートしかなくてどーにもわからないので教えてください。お願いします。

回答No.1

gakutensoku · ベストアンサー

(1)の式をラプラス変換すると(2)になります。

「ラプラス変換表」で検索をかけると、変換の表が出てきます。

なお、

X(s) = {2s+3} / { 2(s+2) }
↓
x = 1/2 e^(-2t) + 3/2

は逆変換です。

お礼

ありがとうございました。理解できました。

回答No.2

Rossana

L{x(t)}=X(s)とすると、
仮定：x'(t)がt>0で連続で、
lim(t→∞)e^(-st)x(t)=0
　　　　　　　ならば
　　　　L{x'(t)}=sX(s)-x(+0)
という公式が成り立ちます。定義にしたがって計算し部分積分を行えば自分で証明できると思うのでやってみてください。なお、仮定が成り立つものとして(1)から(2)にこの公式を使っています。そして、x(+0)=x(0)としています。
ちなみに、L{1}=1/sは当然知っていますよね。
　　f"(t)やf^(n)(t)にに対しても上の公式を適用すれば
似たような式がでてきます。何か分からない点があったら質問して下さい。

お礼

ありがとうございます。