留数：本の答えは合ってますか？

質問

次の関数の特異点における留数を求めよ。

f(z) = (z^2 - 1)/{ (3z - 1)^2 }

まず、u=3z-1と変形しておきます。
本の答えは

　　　　　f(z) = - 8/(81u^2) + 2/(27u) + 1/9 の -1次の項の係数より留数は2/27。

・・・となっています。

私の答えを上記の形式で書くと、

　　　　　f(z) = - 8/(9u^2) + 2/(9u) + 1/9 の -1次の項の係数より留数は2/9。

・・・になります。

私は、
z^2 - 1 = a(3z-1)^2 + b(3z-1) + c
で連立方程式を立てて、結果が
a = 1/9
b = 2/9
c = -8/9
になりました。
関数電卓で解いてもそうなります（式の立て方自体が間違えてるかもしれませんけど）。

本と私のどちらが合っているのでしょうか？どうかお願いします。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

> u=3z-1

としたとき、

> f(z) = -(8/9)/(u^2)+(2/9)/u+(1/9)

という計算は合ってます。なお、その計算をするには、何も「連立方程式」（そんなもんご質問のどこにも出てきてないようですが？）なんか使わなくたって、単に
　　u=3z-1
をzについて解いた
　　z = (u+1)/3
を
　　f(z) = (z^2 - 1)/(u^2)
の分子に代入して展開するだけ。

　しかし、ここまでは重要ではない。（え？これで終わりなんじゃないの？と思ったでしょ。）

　本題は留数の計算です。f(z)の特異点は
　　z = 1/3
であり、従って(z - 1/3)のまわりでf(z)をローラン展開した時の-1次の係数が留数である。
　すなわち、

> u=3z-1

じゃなく
　　v = z - 1/3
を使って展開しなくちゃ留数は出ませんね。もちろん、
　　u = 3v
であるから、既に計算してある「中間結果」を利用して
　　f(z) = -(8/9)/(u^2)+(2/9)/u+(1/9)
　　= -(8/9)/((3v)^2)+(2/9)/(3v)+(1/9)
　　= -(8/81)/(v^2)+(2/27)/v+(1/9)
とやればいい。
　かくて、留数は(2/27)です。

お礼

ありがとうございます。

> 単に
>　　u=3z-1
>をzについて解いた
>　　z = (u+1)/3
>を
>　　f(z) = (z^2 - 1)/(u^2)
>の分子に代入して展開するだけ。

なるほど、そうやって解けばよかったんですか。随分、楽ですね。
実はその方法も質問したかったんですけど、とりあえず連立方程式で解けていたので、ずっと放置していました（かなり面倒くさい解き方ですけど）。

>f(z)の特異点は
>　　z = 1/3
>であり、従って(z - 1/3)のまわりでf(z)をローラン展開した時の-1次の係数が留数である。

あああーっ、そうですね。それで、
3z-1 = 3(z -1/3)
と3で括ったんですね。
私の答えが正解だと思っていたので悔しいです。もっと勉強します。
ありがとうございました！

回答No.3

siegmund

stomachman さんの二番煎じですが...

本の答えの u と libre さんの計算の u とは違うもののようです．
本の u は u = z-1/3 のようですし，
libre さんの u は u = 3z-1 ですね．

libre さんの u = 3z-1 は複素平面のスケール変換(3倍した)と
平行移動(-1)とをやったことになっています．
スケール変換はその変換率だけ留数の値が変化します．
ですから，変換した変数の表示で留数を求めてそのままではいけません．

> 私の答えを上記の形式で書くと、
>
> 　　　　　f(z) = - 8/(9u^2) + 2/(9u) + 1/9 の -1次の項の係数より留数は2/9。
>
> ・・・になります。

のところで，2/(9u) の項から留数 2/9 としていますよね．
じゃあ，9u = w とおくと，この項は 2/w だから留数は２か？
そんなことしませんよね．

u を元に戻すと，この項は 2/{9(3z-1)} = (2/27)/(z-1/3)で，
めでたく留数は 2/27 です．

回答No.1

178-tall

(z^2 - 1)/(3z - 1)^2 = A/(3z - 1)^2 + B/(3z - 1) + C　　　…(*)
略式の試算でも…。

まず (*) の両辺にて z → ∞ とし、
　1/9 = C

(*) へ代入。
　(z^2 - 1)/(3z - 1)^2 - 1/9 = (2z/3 - 10/9)/(3z - 1)^2
　(2z/3 - 10/9)/(3z - 1)^2 = A/(3z - 1)^2 + B/(3z - 1)　　　…(**)

(**) の両辺に (3z - 1)^2 をかけて z → 1/3 とし、
　2/9 - 10/9 = -8/9 = A

(*) へ代入。
　(2z/3 - 10/9)/(3z - 1)^2 + (8/9)/(3z - 1)^2 = B/(3z - 1)　　　…(***)
左辺の勘定。
　(2z/3 - 2/9)/(3z - 1)^2 = (2/9)(3z - 1)/(3z - 1)^2 = (2/9)/(3z - 1)
つまり、B = 2/9 らしい。

お礼

検算してくださって、ありがとうございます。
やっぱり、B = 2/9の部分は合っていましたよね。
ありがとうございました。