行列 フォ － カスペ － ジ３０５

質問

行列の問題について質問です。よろしくお願いいたします。
行列A=　
(1 4)　
(3 2)　
についてA^nを求めよ。

という問題です。

解答は、
ケ － リ － ・ハミルトンより
A^2 － 3A － 10E=0
　(　A － 5E　)　　(　A+2E　)　=0
A　(　A + 2E　)　=5　(　A+2E　)　 　--------※
A　(　A － 5E　)　= － 2　(　A － 5E　)　 --------★
よって
A^n　(　A+2E　)　=5^n　(　A+2E　)　--------1--------※※
A^n　(　A － 5E　)　=　(　 － 2　)　^n　(　A － 5E　)　 　--------2　 --------★★

1　-　2より、７A^n=5^n　(　A+2E　)　-(　 － 2　)　^n　(　A － 5E　)
(後略)

と書いてありました。ですが、
※→※※と★→★★への変形についてよくわかりません。
この部分はどういう変形を行っているのでしょうか？N乗しているようなのですが、それなら、どうして、
A^n　(　A+2E　) ^n　=5^n　(　A+2E　) ^n　--------1--------※※
となるはずではありませんか？
なのにどうして、(　A+2E　)や(　A+2E　)にはn乗がないのでしょうか？

行列は苦手です。どなたかアドバイスをお願いいたします。

回答No.1

totoro7683 · ベストアンサー

全体をn乗しているわけではありません。
Aだけをｎ乗しています。
まずn=2の場合をやって見ましょう。
A(A+2E)=5(A+2E)より
A^2(A+2E)=A(A(A+2E))
=A(5(A+2E))=5A(A+2E)
=5(5(A+2E))=5^2(A+2E)　（＊）
n=3の場合
A^3(A+2E)＝A(A^2(A+2E))　　（n=2の場合を使う）
=A(5^2(A+2E))=5^2(A(A+2E))=5^3(A+2E)
一般のｎに対しては帰納法で証明できます。
やってみてください。
A^n　(　A － 5E　)　=　(　 － 2　)　^n　(　A － 5E　)
の場合も同様です。

お礼

ご回答ありがとうございます！
代入されていて、段々次数をおとしていっていたのですね。
自分でやってみてやっとわかりました。ありがとうございました。