論理と集合

質問

すべての正の数ｘに対してa+x>0が常に成り立つならばa≧０
この命題を対偶を用いて証明せよ

この問題なんですが答えが真になることはわかるけど対偶がわかりません
対偶がわかるかたおしえてください！
よろしくおねがいいたします

回答No.4

noname#21330 · ベストアンサー

>問題の対偶をそのまま書いていただけませんか？
はい、２行目に書いたつもりです。
「すべての正の数ｘに対して」が抜けていたので、正確には、
「すべての正の数ｘに対して、a<0ならa+x>0が成り立たない場合がある。」

「a+x>0が成り立たない」は、「a+x≦0」なので、
「すべての正の数ｘに対して、a<0ならa+x≦0の場合がある。」
でもよろしいかと思います。

回答No.3

magmi-shi

「AであるならばBである」の対偶は「BでないならばAでない」ですね。
今回は
A＝すべての正の数Xに対してa+x>0が成り立つ
B＝a≧0
ですから，
Aの否定＝a+x≦0となる正の数Xが存在する
Bの否定＝a<0
です。よって，対偶は
「a<0ならばa+x≦0となる正の数Xが存在する」
になります。「すべて」を否定するには一つでも例外があればいいので「存在する」になるわけです。

回答No.2

ccyuki

「AならばB」の対偶は「BでないならAでない」です。
でも気をつけるのはこの「Aでない」（Aの否定）なんです。
A：犬は動物である　の否定は　犬は動物ではない　でいいんですけれど
A：すべての花は美しい　の否定は　すべての花は美しくない　ではありません。
否定は　ある花は美しくない　です。
AとAの否定を合わせたとき起きる状況のすべてにならなければならないんです。
だから　すべての正の数ｘに対してa+x>0が常に成り立つならばa≧０　
の対偶は
　すべての正の数ｘに対してa<０ならばa+x≦0が成り立つこともある
です。「常に成り立つ」ではありません。

回答No.1

noname#21330

命題「AならばB」の対偶は「BでないならAでない」です。
今回は、a<0ならa+x>0が成り立たない場合がある。

「a<0」でならば「a+x>0が成り立たない場合がある」ので、
「a+x>0が常に成り立つ」ならば「a≧０」である必要があるわけです。

もちろん、|a|>x　なる正の数xほ存在するので、証明終わりです。

補足

問題の対偶をそのまま書いていただけませんか？