bohr&wheeler理論について

質問

初めまして、wheeler100と申します。
よろしくお願い致します。
ロイ＝ニガムの本について、下記を教えてください。

変形エネルギーは、２次まで考慮すると
ET=4πr0^2A^(2/3)τ[1+2/5α2^2+5/7α3^2+,,,,]+3/5(Ze)^2/(r0 A^(1/3))[1-1/5α2^2-10/49α3^2-,,,,] 式（３０a）
であり、
４次まで考慮すると
ET=4πr0^2A^(2/3)τ[2/5α2^2+116/105α2^3+101/35α2^4+2/35α2^2α4+α4^2]-3/5(Ze)^2/(r0 A^(1/3))[1/5α2^2+64/105α2^3+58/35α2^4+8/35α2^2α4+5/27α4^2] 式（３４a）
になります。
式（30a）は、理解できるのですが、式（３４a）がどのようにして導かれたのか理解できません。α2^3やα2^4は、どうやったら現れるのでしょうか？

回答No.4

grothendieck · ベストアンサー

表面エネルギーの正確な式はロイニガムの(28a)です。(1/R)(∂R/∂θ)を∇Rと書くと

Vsurf = τ∫dΩ√(1+(∇R)^2) R^2
= τ∫dΩ(1 + (1/2)(∇R)^2 - (1/8)(∇R)^4 +…) R^2

ボーアモッテルソンの(6A-13)は、このうちパラメーターの2次までを取ったものに過ぎません。４次まで取ろうと思ったら(1/8)(∇R)^4 などを入れなければならないのです。クーロンエネルギーの方も(6A-21)はパラメーターの2次までを取ったものに過ぎません。
私はこれ以上はやりません。後は他の人に回答してもらって下さい。

お礼

いつもお世話になります。
表面エネルギーの計算を、αの４次までmathematicaで計算しましたが、式（３４a）と一致しません。どこが悪いのでしょうか？

aP[k_,t_]:=Sum[a[n]*LegendreP[n,t],{n,2,k}];
x[t_] :=2*aP[2,t]+aP[2,t]^2+(1-t^2)D[aP[2,t],t]^2;
y[t_] := 1 + (1/2)*x[t]-(1/8)*x[t]^2;
f[t_] = 2*Pi*R0^2*y[t]*(1 + aP[2, t]);
y1 = Integrate[f[t], {t,-1,1}];
ExpandAll[y1]

計算結果
4*Pi*R0^2 + 16/5*Pi*R0^2*a[2]^2 - 4/35*Pi*R0^2*a[2]^3 - 123/70*Pi*R0^2*a[2]^4 - 16/55*Pi*R0^2*a[2]^5

補足

いつもお返事ありがとうございます。

＞ボーアモッテルソンの(6A-13)は、このうちパラメーターの
＞2次までを取ったものに過ぎません。４次まで取ろうと思ったら
＞(1/8)(∇R)^4 などを入れなければならないのです。

了解しました。一応、式（３０a）までは導出できるようになったので、理解したつもりでしたが、考えが甘かったです。振り出しに戻り、式（２８b）を理解するしかないですね。しかし、式（２８b）は前回ご教示頂きしました

xが小さい時
　√(1+x) = 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 + (3/48)x^3 + (5/128)x^4 +…
を代入すれば何とか式（３０a）が導出できそうな気もしますが、
Coulombエネルギーの方は全く手がかりがわかりません。α2^3やα2^4は、どうやったら現れるのでしょうか？

＞私はこれ以上はやりません。後は他の人に回答してもらって下さい。

しかし、誰も回答頂けません。もしかしましたら、grothendieckさん以外回答可能な方はおられないかもしれません。何とかお願いいたします。

回答No.3

grothendieck

(28b)は(26a)を(28a)に代入する以上のことは何もしていません。大変なのはそれより後です。私もこれは数式処理なしにはちょっとする気になれません。
式（30a）を式(２６a)から導くのは、式（２８ｂ）を式(２６a)から導くより難しいと思いますが？

補足

お返事ありがとうございます。

＞(28b)は(26a)を(28a)に代入する以上のことは何もしていません。

再度、考えてみます。

式（34a）が導出出来ずに困っているのですが、(28b)には触れずに、既に理解している「表面エネルギー計算」「静電エネルギー計算」から、（34a）を導きたいのですが、可能でしょうか？

回答No.2

grothendieck

下の回答で
　　√(1+x) = 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 + (3/48)x^3 + (5/128)x^4 +…
は
　　√(1+x) = 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 + (3/48)x^3 - (5/128)x^4 +…
に訂正します。

回答No.1

grothendieck

ロイ＝ニガム(28b)式の被積分関数で1/2乗がかかっている部分は

　{ [1+ΣαlPl]^2 + [ΣαlP'l]^2 }^(1/2)
= { 1 + 2ΣαlPl + [ΣαlPl]^2 + [ΣαlP'l]^2 }^(1/2)

xが小さい時
　√(1+x) = 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 + (3/48)x^3 + (5/128)x^4 +…

この公式でxに2ΣαlPl + [ΣαlPl]^2 + [ΣαlP'l]^2 を代入し、さらに[1+ΣαlPl]をかけてθで積分すればα2^3もα2^4も出てきます。Coulombエネルギーの方もより高次の項まで取る必要があります。私はこれ以上はやりません。後はご自分でお願いします。

補足

いつもお世話になっております。

実は、式（30a）は、式(２６a)から導けるのですが、式（２８ｂ）が、式(２６a)から導けずに困っています。やっぱり、どうしても式（２８ｂ）を理解しないと式（３４a）は導けないでしょうか？