分散の求め方

質問

はじめまして。分散の求め方で質問があります。
おわかりになる方、書き込みをお願いします。

測定値１，２，３，４，５について。

(1)　平均値＝３、自乗の平均値＝１１より
　　　分散＝自乗の平均値－平均値の自乗より
　　　　　＝１１－（３×３）＝１１－９＝２

(2)　平方和＝（１×１＋２×２＋３×３＋４×４＋５×５）－５×３×３
　　　　　＝１０
　　自由度＝５－１＝４
　　分散＝平方和÷自由度より
　　　　＝１０÷４＝２．５

(1)、(2)　どちらが正しいのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

WhiteBahamut · ベストアンサー

こんにちは

分散の基本的定義は、「偏差平方和」をデータの自由度で割る、です。
まずそれぞれの値から平均値を引き、2乗したものを足し合わせます（偏差平方和）。
この値を自由度（n-1）で割ったものが分散です。

偏差平方和＝(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2=10
自由度＝5-1=4
従って、分散＝10/4=2.5　となります。

（２）の計算結果と「値」は同じですが、これは「偶然」そうなっただけで、分散を算出する計算式としては間違っています。

お礼

書き込み、ありがとうございます。

ご説明は理解できました。

ところで、（１）は全くの間違いということでしょうか？

もしよかったら書き込みをお願いします。

回答No.2

age_momo

どちらも正解ですよ。

１は標本分散
２は不偏分散

ですね。意味合いが少し違うので値が違うのは当たり前です。
また、

1/nΣ(xi-μ)^2=1/nΣxi^2-2μ/nΣxi+μ^2
=1/nΣxi^2-μ^2　　(∵μ=1/nΣxi)

1/(n-1)Σ(xi-μ)^2=1/(n-1)Σxi^2-2μ/(n-1)Σxi+nμ^2/(n-1)
=1/(n-1)Σxi^2-nμ^2/(n-1)　　(∵Σxi=nμ)

で計算方法も合っています。

参考URL：

http://dsl4.eee.u-ryukyu.ac.jp/DOCS/error/node19.html