測定値に誤差がある場合の分散について

質問

射的をして、ある回数を撃ったあと、的の弾痕の分散σ^2を求めたい（自分の能力を調べたい、みたいな理由で）。平均は的の中心とします。でも、持っている測定器の精度が悪く、的の中心から弾痕までの距離を正確に測ることができず、分散σ'^2で誤差が生じるとします。このとき、実際に計算した弾痕の分散の推定量（不偏分散）から、測定誤差を除いた、正味の弾痕の分散を推定するにはどうしたらよいでしょうか。
たくさん撃てば、σ'は気にしなくてよいのかもしれませんが、σ'を考慮しなければいけない状況だとしてください。

まとめると、繰り返し測定ができない値を測定してその分散を求めたいけれど、測定で偶然誤差が発生してしまうから、正確な分散がわからないとおもうのですが、どうでしょうか、という質問です。

言葉足らずでしたら補足要求してください、わかりにくいかもしれませんがよろしくおねがいします。

回答No.2

paddler · ベストアンサー

本当は、補足要求するところなのですが、まずは、

> 測定器の精度が・・・、分散σ'^2で誤差が生じる

とあるのを、「この分散σ'が既知である」と解釈して回答を試みることにします。
また、かなり強引な感じがしますが、

> 平均は的の中心とします。

とあり、更に測定誤差にはバラツキだけが記載されていて、"測定の偏り"については記載がないので、これも「0」だと信じることにします。

そして、「測定のバラツキ」については、"絶対誤差"として単に「分散σ'^2で誤差が生じる」とあるので、"被測定量の絶対値"とは無関係に生じるバラツキである、と考えて良いのでしょう。すると、「射撃のバラツキ」と「測定のバラツキ」は独立な統計分布に従うことになりますから、測定結果は「0＋射撃のバラツキ＋測定のバラツキ」で構成されると考えて良いのではないでしょうか。

定理（名前ありましたっけ？）から、独立な統計分布に従う２つの統計量の和の分散は、おのおのの統計量の分散の和になるはずなので、測定値の不偏分散から「測定のバラツキ」の分散σ'^2を引いたものが、「射撃のバラツキ」の分散の推定量になるのではないでしょうか？

お礼

的確に補っていただいてありがとうございます。親切なご回答いただいて大変たすかりました。

補足

はい、測定器の精度は既知として、また、”測定の偏り”（系統誤差）はゼロとすると、おそらく「（正規分布の）加法性」とか「再生性」とかいう性質から、分散の和でよいとおもいます。

何らかの理由で「射撃のばらつき」と「測定のばらつき」が独立でない場合はどうなるのでしょうか？（たととえば「弾痕の距離の二乗のばらつき」と「測定のばらつき」の関係　→ ランダムウォークなんかで関係してきそうなので）

回答No.3

betagamma

何らかの理由で、
「射撃のばらつき」と「測定のばらつき」が独立でない場合
を考えるとしますと、結局、射撃のばらつきXと測定のばらつきYの同時分布が
p(x,y)=p(x)p(y)
と分解してかけないわけですから、問題をp(x)p(y)に分解して考えることはできず、最初からp(x,y)という２変数の確率を考えないといけないということになると思います。

で、このp(x,y)ですが、おそらく二重正規分布とかにはならない気がします。二重正規分布の場合、p(x)p(y)に形式的に分解できる気がするからです。

お礼

この場合はp(x,y)の関数形を求めるのが難しいそうです。しかし、方針がわかって大変助かりました。ありがとうございました。

回答No.1

nrb

いまいち質問の意味が判りません

　そもそも測定誤差があるのが当たり前。この世に誤差が無い測定器は存在しません

　そもそも測定器の誤差の範囲に真の値が存在しますので

　分散値をたとえは、ｃｍならｍｍが計れる測定器が必要です
　最低は測定する物にたして求める精度の１／２以上の精度の測定器をつかう

　そもそもどの位の精度で分散値を求めるのか、現状の測定器の誤差の範囲は取説に書いてますので・・・・・

　まさかおもちゃの簡易な測定器を使用してるならやり方としては意味の無い値となります

　同じ位置を測定しても毎回測定値が違うほど性能の悪い測定器なんでしょうかね

お礼

ありがとうございました、あまり起こりそうにない問題だとは思いますが、丁寧なお返事ありがとうございました、

補足

うまい例がおもいつかなかったので、射的の例になってしまったのですが、たとえば、もっとミクロな世界を測定する場合などには、このように測定器の誤差が十分小さくできないけれど、測定値の分散を求めたいという状況がでてくるとおもいました。

さらに、逆に考えると、実験装置を作りたいときに、その測定誤差を見積もるのは、いったいどうやるのかも疑問におもいました。繰り返し測定が可能な場合は、誤差曲線を書くことができるとはおもうのですが、繰り返し測定ができない場合は、ややこしいなとおもったのです。

本をみてもドンピシャの記述がみあたらなかったものですから、質問させていただきました。