極座標への変換

質問

こんばんは。テストを控え、わからなくてあせっています。
どうか力になってください。

今、球面x^2+y^2+z^2=a^2のxy平面の上部にある半球面の面積分をしています。
途中で極座標に変換して計算する・・というところがでてきたのですが、どのように変換したら答えになるのかわからずに困っています。

文章では分りにくいのですが、式は
∫[-a→a]∫[-√(a^2-x^2)→√(a^2-x^2)][{3(x^2+y^2)-2a^2}/√(a^2-x^2-y^2)]dydxというものです。
これがなぜ
∫[0→2π]∫[0→a]{(3r^3-2a^2)/√(a^2-r^2)}rdrdθになるのでしょうか。

基本的な質問かもしれませんが詳しく解説していただけると助かります。
補足が必要なら書き足すので、よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

１）積分領域のXY座標平面上に描いて下さい。
２）座標変換後の極座標の積分領域もXY座標平面上に重ねて描いて見てください。
そうすると積分領域が全く重なって一致していることが確認できるはずです。
どちらの積分での同じ積分領域でz座標の曲面を積分していることに気が付くかと思います。

次にdxdy=rdrdθの関係における「r」はヤコビアンの計算から出て来ます。
直交座標から、極座標に変換する場合は「r」で固定ですから覚えておくと良いですね。

という事です。後は式をじっと眺め、上記の説明の意味する所をじっくり考えて見てください。そうすれば、変換でお書きの式のようになることが分かってくるはずですよ。

お礼

返事が大変遅くなってしまいごめんなさい。
テスト中で、パソコンを開く余裕がなかったので・・
回答はみさせていただきました。
なんとか理解もでき、テストも大丈夫でした（多分ですが；）

どうもありがとうございます。