電力密度の求め方

質問

電界と磁界が時間依存をもっていたときに、
時間平均電力密度を求めるとき、それぞれの実数部を用いて
1/T =∫(0～T)[1/2(E+E*)×1/2(H+H*)]dt
　　=1/4(E×H*+E*×H)
　　=Re[1/2(E×H*)]

となるのはなぜですか？
(E*は複素共役を表しています)

回答No.2

black_monkey

black_monkeyです。
【訂正】
初めに、No1の記述に誤記がありましたので以下の通り訂正させていただきます。
（修正前）
「
lim(1/T)*∫sin(2*ω*t)dt
=lim(1/T)*(1-cos(2*ω*t))/(2*ω)=0
」
（修正後）
「
lim(1/T)*∫sin(2*ω*t)dt
=lim(1/T)*(1-cos(2*ω*T))/(2*ω)=0
」
【補足説明】
otoko20001さんの記述を一時的に使用させていただきます。
(1)
lim(1/T/4)∫E×H+(E*)×（H*)dt=0
となることは、otoko20001さんは理解されたとして話を進めさせていただきます。(2)　lim(1/T/4)∫(E*)×H+E×（H*)dt=lim(1/T/2)∫Re((E*)×H)dt
の部分について少しだけ詳しくコメントさせていただきます。
以下より、No1で使わせていただいた表式を利用させていただきます。
(3) lim(1/T)*∫0.5*0.5*｛
vce(x,y,z,ω)×cc(vch(x,y,z,ω))+
cc(vce(x,y,z,ω))×vch(x,y,z,ω)
｝dt
=lim(1/T)*∫0.5*Re(vce(x,y,z,ω)×cc(vch(x,y,z,ω)))dt
ベクトルvqを(1)で導入します。
(4)　vcq(x,y,z,ω)=vce(x,y,z,ω)×cc(vch(x,y,z,ω))
ベクトルvcqは、成分が複素数からなるベクトルです。x,y,z軸の単位ベクトルを
vux,vuy,vuzとし,ベクトルvcqの成分をcqx,cqy,cqzとしますと、

(5)　vcq(x,y,z,ω)
=vce(x,y,z,ω)×cc(vch(x,y,z,ω))
=cqx(x,y,z,ω)*vux+cqy(x,y,z,ω)*vuy+cqz(x,y,z,ω)*vuz

(6)　cc(vcq(x,y,z,ω))
=cc(vce(x,y,z,ω))×vch(x,y,z,ω)
=cc(cqx(x,y,z,ω))*vux+cc(cqy(x,y,z,ω))*vuy+cc(cqz(x,y,z,ω))*vuz

lim(1/T)*∫0.5*0.5*｛
vce(x,y,z,ω)×cc(vch(x,y,z,ω))+
cc(vce(x,y,z,ω))×vch(x,y,z,ω)
｝dt
=lim(1/T)*∫0.5*0.5*｛
vcq(x,y,z,ω)+cc(vcq(x,y,z,ω))
｝dt
ここで(5),(6)式を代入しますと、
=lim(1/T)*∫0.5*0.5*｛
(cqx(x,y,z,ω)+cc(cqx(x,y,z,ω)))*vux+
(cqy(x,y,z,ω)+cc(cqy(x,y,z,ω)))*vuy+
(cqz(x,y,z,ω)+cc(cqz(x,y,z,ω)))*vuz
｝dt
=lim(1/T)*∫0.5*0.5*｛
2*Re(cqx(x,y,z,ω))*vux+
2*Re(cqy(x,y,z,ω))*vuy+
2*re(cqz(x,y,z,ω))*vuz
｝dt
=lim(1/T)*∫0.5*0.5*｛
2*Re(cqx(x,y,z,ω)*vux+cqy(x,y,z,ω)*vuy+cqz(x,y,z,ω)*vuz)
｝dt
=lim(1/T)*∫0.5*0.5*｛2*Re(vcq(x,y,z,ω))｝dt
=lim(1/T)*∫0.5*Re(vcq(x,y,z,ω))dt

以上の計算結果をまとめますと
lim(1/T)*∫0.5*0.5*｛
vce(x,y,z,ω)×cc(vch(x,y,z,ω))+
cc(vce(x,y,z,ω))×vch(x,y,z,ω)
｝dt
=lim(1/T)*∫0.5*Re(vce(x,y,z,ω)×cc(vch(x,y,z,ω)))dt

と題意の式が導出できます。
ちなみにvux,vuy,vuzは通常の基底ベクトルなので、cc(vux)=vux、……、cc(vuz)=vuzです。
誤記・誤計算・ウソがありましたらゴメンなさい。

回答No.1

black_monkey

初めまして、black_monkeyです。
具体的な例で考えてみます。
一般的な場合については、猿なもんですから～ご勘弁下さい。

【問題設定】
電磁場を、VE(x,y,z,t),VH(x,y,z,t)、
ポインティングベクトルをVS(x,y,z,t)とします。
電磁場の複素表示をVCE(x,y,z,t),VCH(x,y,z,t)とします。
ポインティングベクトルの時間平均<VS(x,y,z,t)>を求めます。
(1) <VS(x,y,z,t)>
=lim(1/T)*∫VS(x,y,z,t)dt
T→∽

(2) VCE(x,y,z,t)=0.5*(vce(x,y,z,ω)*exp(-j*ω*t)+CC）
(3) VCH(x,y,z,t)=0.5*(vch(x,y,z,ω)*exp(-j*ω*t)+CC）

CCは、複素共役を意味します。
また、CC(VX)と記述した場合、VXの複素共役をとることを意味します。

【計算】
<VS(x,y,z,t)>
=lim(1/T)*∫VS(x,y,z,t)dt
=lim(1/T)*∫VCE(x,y,z,t)×VCH(x,y,z,t)dt
(2),(3)式を代入します。
=lim(1/T)*∫0.5*(vce(x,y,z,ω)*exp(-j*ω*t)+CC）
×0.5*(vch(x,y,z,ω)*exp(-j*ω*t)+CC）dt
=lim(1/T)*∫0.5*0.5*
｛
vce(x,y,z,ω)×vch(x,y,z,ω)*exp(-j*2*ω*t)+
cc(vce(x,y,z,ω))×cc(vch(x,y,z,ω))*exp(j*2*ω*t)+
vce(x,y,z,ω)×cc(vch(x,y,z,ω))+
cc(vce(x,y,z,ω))×vch(x,y,z,ω)
｝dt
第一項、第二項の計算を実施すると0になることから、題意の表式が得られます。

=lim(1/T)*∫0.5*0.5*
｛
vce(x,y,z,ω)×cc(vch(x,y,z,ω))+
cc(vce(x,y,z,ω))×vch(x,y,z,ω)
｝dt

=lim(1/T)*∫0.5*Re(vce(x,y,z,ω)×cc(vch(x,y,z,ω)))dt

【補足説明】
(4)　lim(1/T)*∫0.5*0.5*
｛
vce(x,y,z,ω)×vch(x,y,z,ω)*exp(-j*2*ω*t)+
cc(vce(x,y,z,ω))×cc(vch(x,y,z,ω))*exp(j*2*ω*t)+
｝dt
ここで、
vcq(x,y,z,ω)=vce(x,y,z,ω)×vch(x,y,z,ω)
と置きます。
(5)　vcq(x,y,z,ω)=Re(vcq(x,y,z,ω))+j*Im(vcq(x,y,z,ω))
(5)式を(4)式に代入しますと、
=lim(1/T)*∫0.5*0.5*
｛
(Re(vcq(x,y,z,ω))+j*Im(vcq(x,y,z,ω)))*exp(-j*2*ω*t)+
(Re(vcq(x,y,z,ω))-j*Im(vcq(x,y,z,ω)))*exp(j*2*ω*t)
｝dt

=lim(1/T)*∫0.5*0.5*{
Re(vcq(x,y,z,ω))*2*cos(2*ω*t)-
Im(vcq(x,y,z,ω))*2*sin(2*ω*t)
}dt

ここで、
lim(1/T)*∫cos(2*ω*t)dt、lim(1/T)*∫sin(2*ω*t)dtについて考えますと、

lim(1/T)*∫cos(2*ω*t)dt
=lim(1/T)*sin(2*ω*T)/(2*ω）=0

lim(1/T)*∫sin(2*ω*t)dt
=lim(1/T)*(1-cos(2*ω*t))/(2*ω)=0

誤記、誤計算、ウソがありましたらゴメンなさい。

お礼

回答ありがとうございます。

ですが、

=lim(1/T)*∫0.5*0.5*
｛
vce(x,y,z,ω)×cc(vch(x,y,z,ω))+
cc(vce(x,y,z,ω))×vch(x,y,z,ω)
｝dt

=lim(1/T)*∫0.5*Re(vce(x,y,z,ω)×cc(vch(x,y,z,ω)))dt

が未だにわかりません。Ｅ×Ｈ*がゼロになるのは
分かったのですが、
なぜ0.5*Re(vce(x,y,z,ω)×cc(vch(x,y,z,ω)))dt
なるのかがわかりません。
そこのところ教えてもらえませんか？