多項式の整除

質問

Ｘ＾96+Ｘ＾95をＸ＾4+Ｘ＾3+Ｘ＾2＋Ｘ+1で割った余りを求めたいのですが,
筆算で行えば、途方にくれるような作業で、答えは出ると思いますが、もし
簡単に、余りを求める方法があれば教えてください。

お願いします。

回答No.5

adinat · ベストアンサー

やや大学生レベルの話を使ってもいいなら、商をQ(X)、余りをaX^3+bX^2+cX+dとおいて、

f(X):=X^96+X^95=Q(X)(X^4+X^3+X^2+X+1)+aX^3+bX^2+cX+d

とまず書いておきます。そしてωを1の虚5乗根とします。
このときω^5=1なので、因数分解して、
(ω-1)(ω^4+ω^3+ω^2+ω+1)=0
ですが、ωは虚5乗根としているので、ω≠1ですから、(ω-1)で両辺割って
(★) ω^4+ω^3+ω^2+ω+1=0
です。そこでf(X)のXにωを代入すると、(★)に注意すれば、

f(ω)=ω^96+ω^95=aω^3+bω^2+cω+d

です。ところがωは1の5乗根ですから、ω^96=ω、ω^95=1ですので、結局、

ω+1=aω^3+bω^2+cω+d

ここで係数比較して、a=b=0、c=d=1です。したがって、あまりはx+1となります。

上の方法は高校生レベルできちんとやるのは非常に困難です。どこに問題があるかというと、最後の係数比較をしていいというところに無理があるのです。大学レベルの代数を習っていれば、たとえばアイゼンシュタインの既約判定法などを使って証明できます。ちなみにX^2+X+1で割ったあまりは？という問題も典型問題で、こちらなら入試でよくテーマにされます。この場合は1の虚3乗根を使ってうまくいきますし、これなら係数比較の証明も高校生でもすぐにできます。

結果だけ書いておくと、ωを1の虚p乗根（ただしpは素数）とするとき、p-2次以下の実数係数のωの多項式に関しては係数比較が許される、というものです。今の場合、p=5で、
ω+1=aω^3+bω^2+cω+d
の両辺は(5-2)=3次以下なので、係数比較していいのです。

高校レベルだと、X^2+X+1で割った余りを求めさせる問題が入試なんかでも頻出ですが、この場合なら1の虚3乗根を使って、同様に計算したりします。このときの係数比較はωの1次式ならやっていい、というものですが、この証明は大変容易です（高校レベル）。

さて、上で述べた方法が典型的な解法なんですが、実は非常に容易で、高校レベルでも理解できる別解があって、それがAN.1様や3様がご指摘されている方法なのですが、(X-1)(X^4+X^3+X^2+X+1)+1=X^5に着目するというものです。

X^96+X^95=(X+1){(X-1)(X^4+X^3+X^2+X+1)+1}^19
=(X+1){R(x)(X^4+X^3+X^2+X+1)+1}
=S(x)(X^4+X^3+X^2+X+1)+x+1

よりx+1を余りだ、と結論する方法です。

いずれにせよ、X^5-1=(X^4+X^3+X^2+X+1)(X-1)がキーワードになります。

お礼

丁寧な説明ありがとうございます。
いろいろな方法があることがわかりました。
また、アイゼンシュタインの既約判定法についても、興味が湧きましたので
調べてみたいと思いました。

回答No.4

debut

結局、割り算していることになるんですが、
規則的なことに着目すれば
x^96+x^95
=x^96+x^95+x^94+x^93+x^92-x^94-x^93-x^92
=(x^96+x^95+x^94+x^93+x^92)-x^94-x^93-x^92-x^91-x^90
+x^91+x^90
=(x^96+x^95+x^94+x^93+x^92)-(x^94+x^93+x^92+x^91+x^90)
+(x^91+x^90+x^89+x^88+x^87)-x^89-x^88-x^87
=(x^96+x^95+x^94+x^93+x^92)-(x^94+x^93+x^92+x^91+x^90)
+(x^91+x^90+x^89+x^88+x^87)-x^89-x^88-x^87-x^86-x^85
+x^86+x^85
と、この辺までみれば、続けていけば最後は
=・・・・・+x^6+x^5
=・・・・・+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2-x^4-x^3-x^2
=・・・・・+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2-x^4-x^3-x^2-x-1
　+x+1
となることが予想でき、余りはｘ＋１

お礼

規則性から予測するという方法も、1つですよね。
わかりやすい説明ありがとうございました。

回答No.3

himajin100000

x ^ 5 = (x - 1) P(x) + 1
ここ間違えた。以下 負の部分全て正だけど要領は一緒

回答No.2

himajin100000

自信なし。

F(x) = P(x)Q(x) + R(x)

Ｘ＾96+Ｘ＾95を

(Ｘ＾4+Ｘ＾3+Ｘ＾2＋Ｘ+1)(x - 1 ) = x ^5 - 1

P(x) = (Ｘ＾4+Ｘ＾3+Ｘ＾2＋Ｘ+1)
とすると
x ^ 5 = (x - 1) P(x) - 1
x ^ 95 = {(x - 1) P(x) - 1}^19

{(x - 1) P(x) - 1}^19 ・(x + 1)

二項定理を用いて
x^96 + x^95 =[{(x - 1)^19・P(x)^19 + 19C1 (x - 1)^18・P(x)^18・(-1)^1+・・・}・・(-1)^19](x + 1)

{}(x+1)は外に出してもP(x)で割り切れるから
(-1)^19・(x+1) = - x -1 が余り。

とか駄目かなぁ

お礼

因数を使っての方法ありがとうございました。
とても、わかりやすく理解できました。

回答No.1

Tacosan

じっと見ればわかりますけど, x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 は x^5 - 1 の因数ですね.

お礼

ｘ＾5の因数ということが1つのキーワードなんですね。
すぐに、因数ということがわかれば、いろいろな方法があることが
わかりました。
ありがとうございました。