簡単な多項式の問題です。でもわかりません。

質問

中学三年生レベルの数学の問題集を解いていて、
最初の方のページで躓いてしまいました・・・。
どうしてもわからないので教えてください。

(x+y+3)(x-y-3)

この式を公式 (a+b)(a-b)=a^2-b^2
を利用して展開せよ。という問題で、
答えは x^2-y^2-6y-9
なのですが、どうしてもこの答えになりません！

私の式は
(x+y+3)(x-y-3)
=-(-x-y-3)(x-y-3)
=-(-x-M)(x-M)　　　← y-3をMとおく
=(x+M)(x-M)
=x^2-M^2
=x^2-(y-3)^2
=x^2-(y^2-6y+9)
=x^2-y^2+6y-9
となって、どうしても6が＋になってしまうんです。

問題集の解答に答えしか載ってないのでどうしても理由がわかりません。
どなたかわかる方、式が細かくて見えにくくて申し訳ありませんが
教えてください。
おねがいします。

回答No.7

Trick--o--

もう理解されているでしょうが、年寄りのお節介だと思ってください。

括弧の前の符号を変えるときは、括弧の中の符号も全て変わります。
（Ａ－Ｂ）＝－（－Ａ＋Ｂ）
実はこの左辺、符号が省略されているんです。
＋（＋Ａ－Ｂ）＝－（－Ａ＋Ｂ）
こう書くと符号が変わっているのがわかりやすいでしょう？
当然、－から＋に変わるときも同じです
－（Ａ－Ｂ）＝（－Ａ＋Ｂ）
符号を略さず書くと
－（＋Ａ－Ｂ）＝＋（－Ａ＋Ｂ）
です。

では、これを踏まえて……
－Ａ－Ｂ－Ｃ＝－Ａ－（Ｘ）
としたとき、ＸをＢとＣで表すと？

それでは正解です。
余計なものを除外して考えると
－Ｂ－Ｃ＝－（Ｘ）
ですね。
とりあえず、左辺に括弧をつけてあげましょう。
ついでに略されてる符号も。
＋（－Ｂ－Ｃ）
さて、右辺では括弧の前が－ですね。符号を変えましょう。
すると、中の符合も変わりますから……
－（＋Ｂ＋Ｃ）
ですね。
頭の＋は略すのが一般的なようなので
－（Ｂ＋Ｃ）
です。
－（Ｂ＋Ｃ）＝－（Ｘ）
なので、
Ｘ＝Ｂ＋Ｃ
となります。

一度覚えてしまえば、途中をスパっと飛ばして
－Ａ－Ｂ－Ｃ＝－Ａ－（Ｂ＋Ｃ）
とわかります。

回答No.6

pyon1956

もう理解されたでしょうか？
つまり-x-y-3を-x-Mとしたのが間違いですね。
M=(y-3)として下さい。（ひとかたまりのものと考えてMとおくのだから、ひとかたまりであることをあらわすカッコが必要）。
すると-x-M=-x-(y-3)=-x-y+3となり、
-(x-M)=-(-x-y+3)=x+y-3となって一致しません。こういう場合のセオリーは、二つのカッコで前についている符号が+-入れ替わっているものをまとめてカッコでくくるのが定石です。そうすればうまくゆくのですね。
よろしいでしょうか？

回答No.5

sanori

＃２です。
ご要望にお応えして

まず最初に、あやまっときます。
前回の私の回答の後半の数式に、誤記があります。忘れてください。
m(_ _)m

＞＞＞
どうして、
x-y-3=-(-x+y+3)
だと間違いなのでしょうか？
そこを教えてくださるとうれしいです。

そこは間違ってませんよ。

y-3をMとおいているのにも関わらず、
３行目を
=-(-x-M)(x-M)
としているのが間違いなんです。

では、計算の最初から振り返りましょう。

(x+y+3)(x-y-3)
=-(-x-y-3)(x-y-3)　　←間違っていない
=-(-x-M)(x-M)　　←間違い

なぜ間違いか？

左のかっこの中は
-x-M
M=y-3のはずなので
-x-M＝－ｘ－（ｙ－３）＝－ｘ－ｙ＋３
あれ？
元に戻ってないですよね？　なぜでしょう？

かっこを取り払うときは、かっこの前にある数や符号（＋、－）を、かっこの中の全ての項に掛け算しなくてはいけません。
かっこの前は、マイナスですから、
ｙは－ｙに、
そして！！！（ここが問題！！！）
「３」の前に付く符号は、マイナスのマイナスでプラスになります！

もう一度、最初に戻って、
あなたがやろうとしていたやり方でチャレンジしましょう。
(x+y+3)(x-y-3)
=-(-x-y-3)(x-y-3)
ここでＭ＝ｙ－３と置くと
=-(-x-y+3-6)(x-y+3-6)
=-(-x-(y-3)-6)(x-(y-3)-6)
=-(-x-M-6)(x-M-6)
ここでさらに、Ｎ＝Ｍ＋６と置くと
=-(-x-(M+6))(x-(M+6))
=-(-x-N)(x-N)
=(x+N)(x-N)
= x^2 - N^2
= x^2 - (M+6)^2
= x^2 - ((y-3)+6)^2
= x^2 - (y+3)^2
= x^2 - (y^2 + 6y + 9)
= x^2 - y^2 - 6y - 9
できました！

じゃー、次に私の方法で。

(x+y+3)(x-y-3)
ここでＱ＝ｙ＋３と置くと
=(x+(y+3))(x-(y+3))　←かっこの中の「３」の前に付いている符号に注目！
=(x+Q)(x-Q)
= x^2 - Q^2
= x^2 - (y+3)^2
= x^2 - (y^2 + 6y + 9)
= x^2 - y^2 - 6y - 9
どうでしょうか？
どちらのやり方が簡単でしたか？

では、もう一つ、あなたの好きそうなやり方で、もう一度チャレンジ！

(x+y+3)(x-y-3)
=-(x+y+3)(-x+y+3)　　←あなた好み
ここでＲ＝ｙ＋３と置く
=-(x+R)(-x+R)　←ここは上のやり方より、かえってわかりやすいかも。
=-(R+x)(R-x)
=-(R^2 - x^2)
=-((y+3)^2 - x^2)
=-(y^2 + 6y +9 -x^2)
= x^2 - y^2 - 6y - 9

では、失礼します。
頑張って下さい！

回答No.4

ryn

最善の方法かどうかは置いといて
　(x+y+3) = -(-x-y-3)
の部分はあっています．

ここをみるとマイナスをカッコの外に出すと
括弧の中は全部符号が変わるのはわかっておられると思うので，
　x-y-3
も同じように考えてください．
　-y-3 = -(y+3)
となるので，M=y-3 とすると
　x-y-3 ≠ x-M
です．

回答No.3

noname#17171

何でわざわざ
> =-(-x-y-3)(x-y-3)
なんてことするのかが良く分からないです、
もっと単純にですね、
=(x+y+3)(x-(y+3))
として「y+3をMとする」であれば、以降
=(x+M)(x-M)
=x^2-M^2
=x^2-(y+3)^2
=x^2-(y^2+6y+9)
=x^2-y^2-6y-9
となって答えどおりになります。

補足

-(-x-y-３)(x-y-３)
と
(x+y+３)(x-(y+３))
はイコールではないんですよね？
そこがわからないです。なんでなのか。
カッコの外に-を出した時点で間違いなんでしょうか？

回答No.2

sanori

私の式は
(x+y+3)(x-y-3)
=-(-x-y-3)(x-y-3)
=-(-x-M)(x-M)　　　← y-3をMとおく

↑
ここが間違ってます。
x-y-3 = x-(y+3) ですから、
y-3 を何かに置き換えても無意味です。

最初に戻って「y+3をＭと置く」にしてみてください。
すると
(x+y+3)(x-y-3)
={x+(y+3)}{x-(y+3)}
=(x+M)(x-M)

あとは考えてみてください。

補足

どうして、
x-y-3=-(-x+y+3)
だと間違いなのでしょうか？
そこを教えてくださるとうれしいです。

回答No.1

yoko_love1983

(x+y+3)(x-y-3)
=-(-x-y-3)(x-y-3)
=-(-x-M)(x-M)　　　← y-3をMとおく

?ここへんじゃないの。

ー（ーｘ－ｙ－３）（ｘ－ｙ－３）
＝－（ーｘ－｛ｙ＋３｝）（ｘ－｛ｙ＋３｝）

ｙ＋３＝Mっておいてみれば。

ー（ーｘ－M）（ｘ－M）
＝（ｘ＋M）（ｘ－M）
＝ｘ＾２－M＾２
＝ｘ＾２－（ｙ＋３）＾２
＝ｘ＾２－（ｙ＾２＋６ｙ＋９）
＝ｘ＾２－ｙ＾２－６ｙ－９じゃないの

補足

すいません。
どうしてy-3をMとおけないのかがわからないんです。

-(-x-y-3)(x-y-3)
だからそのまま
y-3をMとおけると思ってやったのですが・・・。