極座標での回転体の体積
はじめまして。satuchikoというものです。
分からない問題がありましたので質問させてください。。
問題は
極方程式r=f(θ)(α＜β)で表された曲線をCとし、
Cの両極点A,Bとする。ただし、0≦α＜β≦π/2で、Aはαに対応する。
Cと2線分OA,OBとで囲まれた部分の面積を始線の周りに回転して得られる立体の体積を積分であらわせ。
というものです。
私は、
r=f(θ+Δθ)を回転してできた円錐から、r=f(θ)を回転してできた円錐を引いて、ΔVを求めようと思いまして、
r=f(θ+Δθ)を回転して得られた円錐の高さと、r=f(θ)を回転して得られた高さを共にrcosθと近似して、
r=f(θ+Δθ)を回転して得られた円錐の半径はrsin(θ+Δθ)
r=f(θ)を回転して得られた円錐の半径はrsin(θ)として
ΔV = π/3*r^2sin^2(θ+Δθ)*rcosθ - π/3*r^2(sinθ)^2*r*cosθ ・・・(1)
と近似して、あとは、一次の近似式や(Δθ)^2の項は0とみなして計算していきますと、
ΔV = 2π/3*r^3sinθ*cos^2θ*Δθ
となったのですが、
答えはΔV = 2π/3*r^3sinθ*Δθとなっています。
答えはというと、
ΔV = π/3*r^2(cosθ)^2*tan^2(θ+Δθ)*rcosθ - π/3r^2(cosθ)^2*(tanθ)^2*rcosθ ・・・(2)
と近似しています。
その後、1次の近似式や(Δθ)^2$の項は0とみなして計算していくと、結局、
ΔV = 2π/3*r^3sinθ*Δθ
としています。
答えの言っていることは分かりますが、
私のやり方と異なっているので、私のやり方のどこがおかしいのか分かりません。
一番最初の(1)の式が根本的におかしいような気がしますが、
なぜいけないのかがわかりません。
どうかご教授お願いします。
