不定積分について

質問

∫{(e^x)-1/(e^x)+1}dxが試験に出題されました。何処から手をつけたらよいのかわからなかったです。解説の時間にも特にふれることなかったので困っております。このような聞き方で大変申し訳ございませんが、おしえていただけませんか?

回答No.1

ungirl · ベストアンサー

積分の中身は(e^x-1)/(e^x+1)ではないでしょうか？
そうだと仮定して解きます。

まず、
　e^x=t
とおくと、
　e^xdx=dt
　dx=dt/t
よって、
　（積分の中の式）=(t-1)/t(t+1)
あとは、（右辺）=a/(t+1)+b/t
とおいてa・bを求めて解けます。
（もしこの先がわからなければ解説します。）

お礼

ご解答ありがとうございました。中身はそれです。わかりにくくてすみませんでした。先は自力で解きます。

回答No.2

springside

置換積分ですね。

e^x=tと置くと、e^x=dt/dxなので、
dx=(1/e^x)dt=(1/t)dt

よって、
与式=∫{(t-1)/(t+1)}(1/t)dt
=∫{(t-1)/t(t+1)}dt

被積分関数を部分分数展開すると、
(t-1)/t(t+1) = 2/(t+1) - 1/t
となるから、求める不定積分は、
2log(e^x+1) - log(e^x) + C
=2log(e^x+1) - x + C

お礼

ありがとうございました。解析学は演習をどんどんつんでモノにします。