不定積分

質問

①∮xlog（x^2+1)/x^2+1dx
②∮（0→1）(x+1)√（1-2x^2）dx
③∮x/√（7x^2+1）dx
④∮e^(2x+e^x)dx
⑤∮（π/6→π/2）cosxcos2xdx
朝の小テストで分からなかった問題です。
どうか教えて下さいませ。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

Cは積分定数とします。

①
x^2 + 1 = t と置換する。
微分して 2x dx = dt
(与式) = ∫[ { (1/2) log (x^2 + 1) } / (x^2 + 1) ] 2x dx
= ∫(1/2) { (log t) / t } dt …(*)
ここで log t = u と置換する。
微分して (1/t) dt = du
よって
(*) = ∫(1/2) (log t) * (1/t) dt
= ∫(1/2) u du
= (1/4) u^2 + C
= (1/4) (log t)^2 + C
= (1/4) { log (x^2 + 1) }^2 + C …答

②：積分区間が x=0 から x=1 となっていますが、
1 / √2 < x ≦ 1 においては
√(1 - 2x^2) が実数ではないため計算できません。
式の間違いかと思われます。

③
7x^2 + 1 = t とおく。
微分して 14 x dx = dt
∴ x dx = (1/14) dt
(与式) = ∫{ (x dx) / √(7x^2 + 1) }
= ∫ { (1/14) dt } / √t
= ∫(1/14) t^(1/2) dt
= (1/14) * (2/3) t^(3/2) + C
= (1/21) (7x^2 + 1)^(3/2) + C …答

④
(与式) = ∫ { e^(2x) * e^(e^x) } dx …(*)
e^x = t と置換する。
微分して e^x dx = dt
(*) = ∫{ e^x * e^(e^x) } * e^x dx
= ∫(t * e^t) dt (ここからは部分積分)
= t * e^t - ∫1 * e^t dt
= t * e^t - e^t + C
= (t - 1) e^t + C
= (e^x - 1) e^(e^x) + C …答

⑤
三角関数の積を和に直す公式
cosαcosβ = (1/2) { cos(α+β) + cos(α-β) }
より
cos (2x) cos x = (1/2) { cos (3x) + cos x }
よって
(与式) = ∫(π/6 → π/2) (1/2) { cos (3x) + cos x } dx
= [ (1/6) sin (3x) + (1/2) sin x ] (π/6 → π/2)
= { (1/6) sin(3π/2) + (1/2) sin(π/2) } - { (1/6) sin(π/2) + (1/2) sin(π/6) }
= { (-1/6) + (1/2) } - { (1/6) + (1/4) }
= 1/12 …答