不定積分

質問

∫(1/1-e^x)dx 　＊e^xはeのx乗
解き方をおしえてください！

回答No.2

totoro7683 · ベストアンサー

置換積分を使うのがいいでしょう。
t=1-e^xとおく。
dt=-e^xdx
dx=-dt/e^x=-dt/1-t=dt/t-1（e^x=1-tを代入）
これらを元の式に代入
与式＝∫1/t*1/(t-1)dt
=(∫dt/(t-1)-∫dt/t)　（部分分数に分解）
=(log|t-1|-log|t|)+C
=(log(e^x)-log|1-e^x|)+C
=x-log|1-e^x|+C

回答No.4

toranekosan222

＃２の人の答えは正しい。

A＝x-log|1-e^x|+C
＝log(e^x)-log|1-e^x|+C
=log|e^x/(1-e^x)|+C (logはまとめることが出来る。）
=-log|(1-e^x)/e^x|+C　（分子と分母を入れ換えるとーが外に出る）
=-log|e^(-x)-1|+C

回答No.3

toranekosan222

A=∫(1/1-e^x)dx
もっと見通しをよくして
A=∫1/(1-e^x)dx=∫e^(-x)/(e^(-x)-1)dx
ここからやっと、置換を考える。
t=e^(-x)-1
dt/dx=-e^(-x)
-dt=e^(-x)dx
これで置換の準備が出来た。
t=e^(-x)-1、-dt=e^(-x)dxで置き換えできるように変形すると、
A=∫e^(-x)/(e^(-x)-1)dx=∫1/(e^(-x)-1) e^(-x) dx
この変形と準備不足で＃１の人の答えがおかしくなっている。
A=-∫1/t dt=- log|t|+C=-log|e^(-x)-1|＋C
この積分値はxが０以上であれば、絶対値を示す｜｜が外れる。
この不定積分を定積分で使う際には注意すべきである。

回答No.1

shogo1122

与式を変形して
∫(1-e^x)^(-1)dx
t=1-e^xとおくと
dt/dx=-e^x
dx=-dt/e^x
∫(1-e^x)^(-1)dx
=∫t^(-1)(-dt/e^x)
=-1/e^x*log|1-e^x|

こんなのでどうでしょう？置換を使いました。