四角形（A点・B点・C点・D点）の円弧

質問

四角形900ミリ×150mm（A点・B点・C点・D点）のうち、A点・B点の２点、そしてC点、D点の中間点の３点を通る円の半径を簡単に求められる公式をどなたか教えていただけないでしょうか？お願いいたします。

回答No.5

stomachman · ベストアンサー

もし三点を通る円を作図するのが目的なら、半径を計算する必要などないわけですから、こりゃ何か図に描けないようなものの設計をなさっているんでしょうかね。公式ってのは、必要に応じて作るもんです。やってみましょう。

与えられた三点A,B,Cがもし同じ直線に乗っていたら、A,B,Cを通る円もありません。逆に言えば、そういう円があるのならば、A,B,Cは三角形になる。つまり△ABCが与えられているわけです。で、△ABCの形を言い表すのに、
・ ３本の辺の長さを指定する
・ ２本の辺の長さと、これらの辺に挟まれた角の大きさを指定する。
・ 1本辺の長さと、その辺の両端の2つの角の大きさを指定する。
という方法がありますけれども、とりあえずここでは、「３本の辺の長さを指定する」でやります。こうすれば、結果がキレイな式になりそうですからね。（ご質問の三点の間の距離を計算するのは、自分でやってね。）

　辺ABの長さを2a、辺BCの長さを2b、辺CAの長さを2cとします。また、∠AOBを２α、∠BOCを２β、∠COAを2γとします。△AOB, BOC, COAはどれも二等辺三角形になるから、
r sinα = a
r sinβ = b
r sinγ = c
であり、また
(1)γ=π-α-β　もしくは(2) γ=α+β のどちらか
が成り立ちます。（(1)は△ABCの中にOがある場合。(2)はそうでない場合。）以上、図を描いてご確認ください。

(1)の場合、r sinγ = cにγを代入して
r sin(π-α-β) = c
ここでsin(π-α-β)　= sin(α+β）なので
r sin(α+β) = c
が成り立ちます。
(2)の場合もやっぱり
r sin(α+β) = c
が成り立ちますので、以下、(1)(2)を場合分けする必要はありません。

さて、sin(α+β) を加法定理で展開すると、
r sinα cosβ+ r cosα　sinβ = c
ゆえに、
a cosβ+ b cosα = c
です。（図をにらむだけでも、この関係は見出せます。）
　この式から
(cos α)^2 = 1 - (sin α)^2 = 1 - (a/r)^2
(cos β)^2 = 1 - (sin β)^2 = 1 - (b/r)^2
を利用してsin, cosを消すと、r^2に関する一次方程式になります。そして、
r^2 = 4((abc)^2)/(2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]-(a^4+b^4+c^4))
が得られますんで、これが「公式」。

お礼

ありがとうございました。すごく難しいんですね。簡単にわかるんだろうなと思って質問しました。
教えて頂いた公式ですでやってみます。
公式の定理の書いてくださって、わかりやすいです。有難うございました。

回答No.4

web2525

ちなみにこの問題はどの学年が対象？

どうしても公式が必要なの？（公式を求めるのが問題なのか、半径を求めるのが問題なのか？）

半径を求めるのであれば、
円の中心をＯ、ＣＤ中間点をＥとして、ＯＡ＝ＯＥ＝半径となり、
半径をｒとし、三角関数で
ｒ＾２＝（ｒ－１５０）＾２＋４５０＾２
図に書けばわかりやすいと思います。
と計算で出ますよね。
中学生レベルならこんなもんでは？

お礼

ありがとうございます。実は社会人ですが、中学生のレベルにも行ってないようです。とほほ・・・この公式で試してみます。有難うございました。

回答No.3

debut

公式じゃないとだめなんですか？

この場合に限れば、Ｃ Ｄの中点をＭ、ＡＭの中点をＮとし、Ｍを通る
Ｃ Ｄの垂線とＮを通るＡＭの垂線の交点をＯとすると、△ＡＣ Ｍと
△ＭＮＯ が相似になるので、ＡＣ：ＭＮ＝ＭＡ：Ｏ Ｍがいえて、
ＯＭが円の半径なので、比から求められます。
ＡＣ ＝150、ＭＡは△ＡＣ Ｍで三平方の定理から150√10、ＭＮ＝75√10
なので、150：75√10＝150√10：Ｏ Ｍ→ＯＭ＝・・・

または、円の方程式（これは解くのがやっかい）、１次関数の直線の交点
からもとめることもできます。

お礼

有難うございます。
三平方の定理ですか。いろんな出し方があるんですね。数学とはなんと奥深いのでしょう。頑張ってみます。有難うございました。

回答No.2

age_momo

>３点を通る円の半径を簡単に求められる公式

そのものずばりは無いでしょうね。
ABの長さをp、BCの長さをqとして正弦定理と余弦定理を使って変形していくと

半径R=(p^2+4q^2)/8q

ですかね。計算間違いしているかもしれませんが。。。

回答No.1

letterman

辺AB＝９００ミリなのか、辺BC=900ミリなのかによって、答えが変わりますね。補足的な説明をつけたほうがよいと思います。

補足

失礼いたしました。AB間は900mm、CD間も900mmです。よってAC間は150mmBD間も150mmです。説明しにくいのですが、わかりますでしょうか？