円弧A-Bと直線A-Bの距離がわかっているときの頂点までの距離を教えてください。

質問

点A-B間の直線距離が30ｍで、同じ点A-Bを通る円弧の長さが40ｍの場合
直線A-Bの中間点から円弧の頂点までの長さは、どのように計算すれば良いのでしょうか？

回答No.9

arrysthmia · ベストアンサー

昨日は、済みませんでした。
関数電卓を使った計算法を、No.2 の方針でやってみましょう。

sin のテーラー展開
sinθ = θ - (1/3 !)θ^3 + (1/5 !)θ^5 - (1/7 !)θ^7 + …　　←(4)
より、
sinθ ≒ θ - (1/3 !)θ^3 + (1/5 !)θ^5
と近似します。
これを (3) へ代入して、
1 - (1/6)θ^2 + (1/120)θ^4 ≒ 3/4
これは、θ^2 についての二次方程式ですから、解くことができて
θ^2 ≒ 10 - √70　　←(5)
とわかります。

(1) より r = 20/θ
(3) より cosθ = √{ 1 - (sinθ)^2 } = √{ 1 - (9/16)θ^2 }
ですから、
Y = r - r cosθ = (20/θ) [ 1 - √{ 1 - (9/16)θ^2 } ]
ここへ (5) を代入して、
Y ≒ 11.18
が求まります。

(6) の計算は、加減乗除と√だから、関数電卓でできますね。

この計算の精度は、(4) が交代減少級数であることから、
打切り誤差 < 打ち切り初項 = (1/7 !)θ^7
となって、3～4 桁であることがわかります。
ニュートン法ほどの精度はありませんが、
手軽な割りには悪くないでしょう？

お礼

ありがとうございます。
エクセルの関数で答えが出ました。
自分が思っていたより遙かに難解でしたが、答えが出て助かりました。

回答No.8

Akira_Oji

解析的にはもうすでにたくさんの回答者さんたちが答えられているので、プログラムが使えない状況でエクセルを使ってちょっと「泥臭い」方法でやってみますか？
以下の図形的関係は、すでに皆さんが説明されているので、使う文字は少し違いますが注意して見比べながらやってください。

弧AB=2C
直線AB=2L
円の半径=ｒ
角AOB=2θ
直線ABから弧ABの頂点までの距離=ｈ

これらより
ｒθ＝C　　　-->　　r=C/θ　　　　　　---(1)
L=ｒsinθ=(C/θ）sinθ　　　　　　　　---(2)
h=r(1-cosθ)=(C/θ)(1-cosθ)　　　　　---(3)

(2)より
L/C＝sinθ/θ　　　　　　　　　　　　---(2)'

以下に例として、「泥臭い方法」としてθを使って概数を求める方法を考えて見ます。
さて、与えられた、LとAからθを求めることを考える。

（i)エクセルの１列目にθとして[ラジアン]の単位で0.00から3.14の数を　0.01刻みで入力する。（0.001刻みのほうが精度がいいが行数が増えるので、今は練習のため0.01刻みでやってみる。）
(ii)エクセルの関数を使って、１列目をθとして、２列目にsinθ/θを計算する。
(iii)与えられた、LとCからL/Cを電卓ででも計算をする。これはsinθ/θに等しいので、２列目の数の中からこの値に近いものを見つける。
(iv)見つけた数のすぐ横にある１列目の数を見つける。これがθの近似値である。[ラジアン]の単位で。
(v)　式(3)よりh=(C/θ)(1-cosθ)であるから、(iv)で得られたθの近似値を使ってhを上式を利用して電卓ででも計算する。

Ojisanたちが何十年も前に「対数表」というものを使っていた方法と同じです。まず、他の回答者さんが計算したものと答えが合うかやってみてください。

これでいけると思えば、エクセルの表はそのまま、他の弧ABと弦ABの場合にも使えますので、L/Cを計算し２列目からその場合のsinθ/θを見つけ、１列目からθの近似値を得て、h=(C/θ)(1-cosθ)でｈを計算してください。精度を上げるためにはもちろん刻みを細かくすればいいわけです。

お礼

ありがとうございます。

エクセルで表を作り答えが出ました。
プロセスはよくわかりませんが、少しずつ勉強したいと思います。

回答No.7

info22

#4,#6です。
A#5の補足の中のY=16mとした場合のABの計算法について

sin(20/r)=15/r
Y=r{1-cos(20/r)}
２つの式を　円弧ACB=60[m], Y=16[m]とした場合に適用するなら
AB=X[m]として

sin(30/r)=X/(2r)
16=r{1-cos(30/r)}

となる。θ=30/r…(C)とおけば

X=60sinθ/θ …(A)
(1-cosθ)/θ=8/15　…(B)

となります。
(B)式にニュートン法を適用してθを求めると
θ≒1.20590[rad]
(C)から
r≒24.8777[m]
(A)から
X=AB≒46.480≒46.48[m]
と計算できます。

この場合も、やはり関数電卓だけでは無理ですね。
ニュートン法などを使いますのでニュートン法がつかえるEXCELや
A#6に書いたソフトなどが必要ですね。

お礼

お手数をおかけします。
やはり関数電卓を叩くだけではダメなのですね。
自分が思ってた以上に難問で皆さんのお知恵を借りなければ答えがわかりませんでした。ありがとうございます。

回答No.6

info22

#4です。
A#4の補足質問の回答
>計算の仕方がよくわかりません。
>電卓やエクセルでは簡単に計算出来ないのでしょうか？
A#4に計算式を書いて、その式を使って計算しています。

>> 円弧の半径r
>> sin(20/r)=15/r　…(◆）
この計算が普通の電卓では無理ですね。
僕はこの計算を数式処理ソフトwxMaximaでニュートン法でrを求めましたが
グラフィックソフトGRAPESやFunctionViewを使って下の図的にrを求めることもできます。

多分エクセルならできるかと思いますが残念ながら僕のPCにはエクセルが入っていません。
ネット上にエクセルでのニュートン法や2分法の使い方が載っていますので
そこを見てください。
Newton法
http://homepage1.nifty.com/gfk/excel_newton.htm
http://www.ie.reitaku-u.ac.jp/~ykago/lectures/fe_basic/fe_basic03.html
http://www.waseda.jp/ocw/ComputerScience/17-4003-01IntroductiontoITFall2003/StudyMaterials/root/document/exel.htm

20/r=(∠AOB)/2=θ[rad]とおけば
15/r=(3/4)θとなるので（◆）の式は
sinθ=(3/4)θ
sin(θ)/θ=3/4　…(●)
この式は#2さんの(3)式です。
この式もニュートン法や２分法や
グラフィックソフトGRAPESやFunctionViewでθを求められます。
この式は近似式
sin(θ)/θ≒1-(θ^2)/6+(θ^4)/120-(θ^6)/5040
を使えば有効桁数５桁以下の誤差でθが求められます。
この式ならEXCELで計算できますね。

>Y=r{1-cos(20/r)}
この式は関数電卓やエクセルで計算できる式です。
この式はθを使えば
Y=r(1-cosθ)
と表せます。

回答No.5

banakona

＞関数電卓で答えを出すにはどうしたら良いのでしょうか？

関数電卓ですか・・・　プログラム機能がついていれば、２分法やニュートン法などをプログラムして答え（近似値）を出せますが、そうでなければ難しいでしょう。

＃４さんと答えがほぼ一致しているので、θの値は信頼していただいていいと思います。この値をそのまま使ってはダメですか？　ちなみにｄｅｇならθ≒７３．０９°≒７３°５’３１．６”

補足

関数電卓では無理ですか・・、エクセルでもやはり無理でしょうか？
出来れば、数値を入れ替えてやってみたかったので。

また、この円弧の外側にたとえば、５ｍ離してＹ=16ｍとして円弧60ｍとした場合、直線A-B間は何メートルになるか？
このようなことを、いろいろ試してみたいのですが可能でしょうか？

回答No.4

info22

sin(20/r)=15/rより
円弧の半径r≒15.6771[m]
Y=r{1-cos(20/r)}=11.1184[m]

お礼

図までつけていただいて、ありがとうございます。
お手数をかけたのですが、計算の仕方がよくわかりません。
電卓やエクセルでは簡単に計算出来ないのでしょうか？

回答No.3

arrysthmia

陳謝と訂正：
No.1 は、全面的に間違い。我ながら寝ぼけていたとしか…
済みませんでした。No.2 を参考にして下さい。

お礼

気にかけて頂いてありがとうございます。
No.２を参考にしたいのですが、難しくて・・・

回答No.2

banakona

解き方がマズいのかもしれないけど、これは意外と手ごわい。

∠ＡＯＢ＝２θ、ＯＡ＝ｒとおくと、
弧ＡＢ＝４０なので
　　ｒθ＝２０　　・・・（１）
ＡＢ＝３０なので
　　ｒsinθ＝１５　　・・・（２）
（１）（２）からｒを消去すると
　　（ｓｉｎθ)/θ＝３／４　　・・・（３）
これを解析的に解くのは難しいので、２分法を使ったら　θ＝1.27569810928113・・・(rad)
これを（１）に代入すると　ｒ≒１５．６７８（ｍ）

求める頂点までの距離は　ｒ－ｒ・cosθ＝１５．６７８－１５．６７８×cos（１．２７５・・・）≒１１．１１（ｍ）
となるようです。計算ミスがあったらごめんなさい。あくまで「参考意見」ということで。

補足

回答ありがとうございます。
関数電卓で答えを出すにはどうしたら良いのでしょうか？

回答No.1

arrysthmia

貴方の学年・既習範囲がわかりません。
以下の説明で、理解できるでしょうか？

∠AOB を 2θ[ラジアン] と置くと、
円弧の長さが 40 = (2π・30)(2θ/2π) であることから
θ = 2/3。

Y を含む半径から不要部分を引いて
Y = 30 - 30 cosθ と表せるから、
結局、Y = 30 - 30 cos(2/3)。

cos(2/3) を簡単な代数計算で表示する式は無いので、
これ以上、式を簡略化することはできそうにない。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
数学の知識は高校時代に習ったものはすべて忘れ、中学生の子供の質問にも苦労する程度です。

で、残念ですが式がよくわかりません。
Ｙ＝何メートルなのでしょうか？